Calcul Differéntiel Et Intégral – Tome 1,2 – Piskounov (Piskunov) (Française)

Posted on May 28, 2022 by The Mitr

À propos du livre

Le manuel du regretté professeur Nikolai Piskuonov DSc (Physique et Mathématiques) est consacré aux divisions les plus importantes des mathématiques supérieures. Cette édition révisée et publiée pour la dernière fois en deux volumes

Le premier volume traite des sujets suivants: Nombre, Variable, Fonction, Limite, Continuité d’une Fonction, Dérivée et Différentielle, Certains Théorèmes sur les Fonctions Différentiables, La Courbure d’une Courbe, Nombres Complexes, Polynômes, Fonctions de Plusieurs Variables, Applications du Calcul Différentiel à la Géométrie Solide, L’Intégrale Indéfinie, L’Intégrale Définie, Applications Mécaniques de l’Intégrale Définie.

Le deuxième volume traite des sujets suivants: Équations Différentielles, Intégrales Multiples, Intégrales Linéaires et de Surface, Séries, Séries de Fourier, Équations de la Physique Mathématique, Calcul Opérationnel et Certaines de ses Applications, Éléments de la Théorie des Probabilités et Statistiques Mathématiques, Matrices.

Il y a de nombreux exemples et problèmes dans chaque section du cours, beaucoup d’entre eux démontrent les liens entre les mathématiques et les autres sens, ce qui rend le livre utile pour l’auto-apprentissage est un manuel pour les écoles techniques supérieures qui a subi plusieurs éditions en russe et a également été traduit en Anglais, Français, Espagnol et Portugais.

Les livres ont été traduits du russe par G Der-Megreditchian et E Gloukhiany publiés par Mir en format 2 volumes en 1972.

(J’utilise la traduction automatique pour le post, toutes mes excuses pour les erreurs.)

Crédits aux téléchargeurs originaux.

Version Française

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Contenu

Tome 1

CHAPITRE I. NOMBRE. VARIABLE. FONCTION

1.1 Nombres réels. Nombres réels sous forme de points sur une échelle de nombres 11
1.2 La valeur absolue d’un nombre réel 12
1.3. Variables et constantes 14
1.4 La portée d’une variable 14
1.5 Variables ordonnées. Variables croissantes et décroissantes. Variables bornées 16
1.6 Fonction 16
1.7 Modes de représentation des fonctions 18
1.8 Fonctions élémentaires de base. Fonctions élémentaires 20
1.9 Fonctions algébriques 24
1.10 Système de coordonnées polaires 26

Exercices sur le chapitre 27

CHAPITRE 2. LIMITE. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION

2.1 La limite d’une variable. Une variable infiniment grande 29
2.2 La limite d’une fonction 31
2.3 Une fonction qui s’approche de l’infini. Fonctions bornées 35
2.4 Infinitésimaux et leurs propriétés de base 39
2.5 Théorèmes de base sur les limites 42
2.6 La limite de la fonction sin x / x comme x → 0 46
2.0. Le nombre e 47
2.8 Logarithmes naturels 51
2.9 Continuité des fonctions 53
2.10 Certaines propriétés des fonctions continues 57
2.11 Comparaison des infinitésimaux 59

Exercices sur le chapitre 2 61

CHAPITRE 3. DÉRIVÉS ET DIFFÉRENTIELS

3.1 Vitesse du mouvement 65
3.2 La définition d’une dérivée 67
3.3 Signification géométrique de la dérivée 69
3.4 Différentiabilité des fonctions 70
3.5 La dérivée de la fonction y=x^{n}, n un entier positif 74
3.6 Dérivées des fonctions y = sin x, y = cos x 75
3.7 Dérivées de: une constante, le produit d’une constante par une fonction, une somme, un produit et un quotient 75
3.8 La dérivée d’une fonction logarithmique 80
3.9 La dérivée d’une fonction composite 81
3.10 Dérivées des fonctions y = tan x, y = cot x, y = ln |x / 83
3.11 Une fonction implicite et sa différenciation 85
3.12 Dérivées d’une fonction de puissance pour un exposant réel arbitraire, d’une fonction exponentielle générale et d’une fonction exponentielle composite 87
3.13 Une fonction inverse et sa différenciation 89
3.14 Fonctions trigonométriques inverses et leur différenciation 92
3.15 Formules de différenciation de base 96
3.16 Représentation paramétrique d’une fonction 98
3.17 Les équations de certaines courbes sous forme paramétrique 99
3.18 La dérivée d’une fonction représentée paramétriquement 102
3.19 Fonctions hyperboliques 104
3.20 Le différentiel. 107
3.21 La signification géométrique du différentiel 111
3.22 Dérivés d’ordres différents 112
3.23 Différentiels d’ordres différents 114
3.24 Dérivées (d’ordres divers) de fonctions implicites et de fonctions représentées paramétriquement 116
3.25 La signification mécanique de la dérivée seconde 118
3.26 Les équations d’une tangente et d’une normale. Les longueurs d’une sous-tangente et d’une sous-normale 119
3.27 La signification géométrique de la dérivée du vecteur rayon par rapport à l’angle polaire 122

Exercices sur le chapitre 3

CHAPITRE 4. QUELQUES THÉORÈMES SUR LES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

4.1 Un théorème sur les racines d’une dérivée (théorème de Rolle) 133
4.2 Le théorème de la valeur moyenne (théorème de Lagrange) 135
4.3 Le théorème de la valeur moyenne généralisée (théorème de Cauchy) 136
4.4 La limite d’un rapport de deux infinitésimaux (évaluation des formes indéterminées du type 0/0 137
4.5 La limite d’un rapport de deux quantités infiniment grandes(évaluation des formes indéterminées du type∞/∞) 140
4.6 Formule 145 de Taylor
4.7 Expansion des fonctions e^{x}, sin x et cos x dans une série de Taylor 149

Exercices sur le chapitre 4 152

CHAPITRE 5. ÉTUDIER LE COMPORTEMENT DES FONCTIONS

5.1 Exposé du problème 155
5.2 Augmentation et diminution d’une fonction 156
5.3 Maxima et minima des fonctions 157
5.4 Tester une fonction différentiable pour le maximum et le minimum avec une dérivée première 164
5.5 Tester une fonction pour le maximum et le minimum avec une dérivée seconde 166
5.6 Maximum et minimum d’une fonction sur un intervalle 170
5.7 Application de la théorie des maxima et minima des fonctions à la solution des problèmes 171
5.8 Tester une fonction pour le maximum et le minimum au moyen de la formule de Taylor 173
5.9 Convexité et concavité d’une courbe. Points d’inflexion 175
5.10 Asymptotes 182
5.11 Plan général pour l’étude des fonctions et la construction de graphiques 186
5.12 Étudier les courbes représentées paramétriquement 190

Exercices sur le chapitre 5 194

CHAPITRE 6. LA COURBURE D’UNE COURBE

6.1 Longueur de l’arc et sa dérivée 200
6.2 Courbure 202
6.3 Calcul de la courbure 204
6.4 Calcul de la courbure d’une courbe représentée paramétriquement 207
6.5 Calcul de la courbure d’une courbe donnée par une équation de coordonnées polaires 207
6.6 Le rayon et le cercle de courbure. Le centre de courbure. Evolute et involute 208
6.7 Les propriétés d’un evolute 213
6.8 Approximation des racines réelles d’une équation 216

Exercices sur le chapitre 6 221

CHAPITRE 7. NOMBRES COMPLEXES. POLYNÔME

7.1 Nombres complexes. Définitions de base 224
7.2 Opérations de base sur les nombres complexes 226
7.3 Puissances et racines des nombres complexes 229
7.4 Fonction exponentielle avec exposant complexe et ses propriétés 231
7.5 Formule d’Euler. La forme exponentielle d’un nombre complexe 234
7.6 Factorisation d’un polynôme 235
7.7 Les racines multiples d’un polynôme 238
7.8 Factorisation d’un polynôme dans le cas de racines complexes 240
7.9 Interpolation. Formule d’interpolation de Lagrange 241
7.10 Formule d’interpolation de Newton 243
7.11 Différenciation numérique 245
7.12 Sur la meilleure approximation des fonctions par des polynômes. Théorie de Tchebychev 246

Exercices sur le chapitre 7 247

CHAPITRE 8. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

8.1 Définition d’une fonction de plusieurs variables 249
8.2 Représentation géométrique d’une fonction de deux variables 252
8.3 Incrément partiel et total d’une fonction 253
8.4 Continuité d’une fonction de plusieurs variables 254
8.5 Dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables 257
8.6 Une interprétation géométrique des dérivées partielles d’une fonction de deux variables 259
8.7 Incrément total et différentiel total 260
8.8 Approximation par écarts totaux 263
8.9 Utilisation d’un différentiel pour estimer les erreurs de calcul 264
8.10 La dérivée d’une fonction composite. La dérivée totale. Le différentiel total d’une fonction composite 267
8.11 La dérivée d’une fonction définie implicitement 270
8.12 Dérivés partiels d’ordres supérieurs 273
8.13 Surfaces de niveau 277
8.14 Dérivée directionnelle 278
8.15 Gradient 281
8.16 Formule de Taylor pour une fonction de deux variables 284
8.17 Maximum et minimum d’une fonction de plusieurs variables 286
8.18 Maximum et minimum d’une fonction de plusieurs variables liées par des équations données (maxima et minima conditionnels) 293
8.19 Obtention d’une fonction à partir de données expérimentales par la méthode des moindres carrés 298
8.20 Points singuliers d’une courbe 302

Exercices sur le chapitre 8 307

CHAPITRE 9. APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL À LA GÉOMÉTRIE SOLIDE

9.1 Les équations d’une courbe dans l’espace 311
9.2 La limite et la dérivée de la fonction vectorielle d’un argument scalaire. L’équation d’une tangente à une courbe. L’équation d’un plan normal 314
9.3 Règles de différenciation des vecteurs (fonctions vectorielles) 320
9.4 Les dérivées première et seconde d’un vecteur par rapport à la longueur de l’arc. La courbure d’une courbe. La principale normale. La vitesse et l’accélération d’un point en mouvement curviligne 322
9.5 Plan d’osculation. Binormal. Torsion 330
9.6 Le plan tangent et la normale à une surface 335

Exercices sur le chapitre 9 338

CHAPITRE 10. L’INTÉGRALE INDÉFINIE

10.1 L’antidérivatif et l’intégrale indéfinie 341
10.2 Tableau des intégrales 343
10.3 Quelques propriétés de l’intégrale indéfinie 345
10.4 Intégration par substitution (changement de variable) 347
10.5 Intégrales de certaines fonctions contenant un trinôme quadratique 350
10.6 Intégration par parties 352
10.7 Fractions rationnelles. Fractions rationnelles partielles et leur intégration 356
10.8 Décomposition d’une fraction rationnelle en fractions partielles 359
10.9 Intégration des fractions rationnelles 363
10.10 Intégrales de fonctions irrationnelles 366
10.11 Intégrales de la forme ∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx 367
10.12 Intégration de certaines classes de fonctions trigonométriques 370
10.13 Intégration de certaines fonctions irrationnelles au moyen de substitutions trigonométriques 375
10.14 Sur les fonctions dont les intégrales ne peuvent être exprimées en termes de fonctions élémentaires 377

Exercices sur le chapitre 10 378

CHAPITRE 11. L’INTÉGRALE DÉFINIE

11.1 Exposé du problème. Sommes inférieures et supérieures 387
11.2 L’intégrale définie. Preuve de l’existence d’une intégrale définie 389
11.3 Propriétés de base de l’intégrale définie 399
11.4 Évaluation d’une intégrale définie. La formule de Newton-Leibniz 402
11.5 Changement de variable dans l’intégrale définie 407
11.6 Intégration par parties 408
11.7 Intégrales incorrectes 411
11.8 Approximation des intégrales définies 419
11.9 La formule de Tchebychev 424
11.10 Intégrales dépendant d’un paramètre. La fonction gamma 429
11.11 Intégration d’une fonction complexe d’une variable réelle 433

Exercices sur le chapitre 11 433

CHAPITRE 12. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES ET MÉCANIQUES DE L’INTÉGRALE DÉFINIE

12.1 Zones de calcul en coordonnées rectangulaires 437
12.2 L’aire d’un secteur curviligne en coordonnées polaires 440
12.3 La longueur d’arc d’une courbe 441
12.4 Calcul du volume d’un solide à partir des aires de sections parallèles (volumes par découpage) 447
12.5 Le volume d’un solide de révolution 449
12.6 La surface d’un solide de révolution 450
12.7 Travail de calcul par l’intégrale définie 452
12.8 Coordonnées du centre de gravité 453
12.9 Calcul du moment d’inertie d’une ligne, d’un cercle et d’un cylindre au moyen d’une intégrale définie 456

Exercices sur le chapitre 12 458

Indice 465

Tome 2

CHAPITRE 1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1.1 Exposé du problème. L’équation du mouvement d’un corps avec une résistance du milieu proportionnelle à la vitesse. Équation
d’une caténaire 11
1.2 Définitions 14
1.3 Équations différentielles du premier ordre (notions générales) 15
1.4 Équations avec des variables séparées et séparables. Le problème de la désintégration du radium 20
1.5 Équations homogènes du premier ordre 24
1.6 Équations réductibles en équations homogènes 26
1.7 Équations linéaires du premier ordre 29
1.8 Équation de Bernoulli 32
1.9 Équations différentielles exactes 34
1.10 Facteur d’intégration 37
1.11 L’enveloppe d’une famille de courbes 39
1.12 Solutions singulières d’une équation différentielle du premier ordre 45
1.13 Équation de Clairaut 46
1.14 Équation de Lagrange 48
1.15 Trajectoires orthogonales et isogonales 50
1.16 Équations différentielles d’ordre supérieur (principes fondamentaux) 55
1.17 Une équation de la forme y^{(n)} = f (x ) 56
1.18 Certains types d’équations différentielles du second ordre réductibles aux équations du premier ordre. Problème de vitesse d’échappement 59
1.19 Méthode graphique d’intégration d’équations différentielles du second ordre 66
1.20 Équations linéaires homogènes. Définitions et propriétés générales 68
1.21 Équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants 75
1.22 Équations linéaires homogènes d’ordre n à coefficients constants 80
1.23 Équations linéaires non homogènes du second ordre 82
1.24 Équations linéaires non homogènes du second ordre à coefficients constants 86
1.25 Équations linéaires non homogènes d’ordre supérieur 93
1.26 L’équation différentielle des vibrations mécaniques 97
1.27 Oscillations libres 98
1.28 Oscillations forcées 102
1.29 Systèmes d’équations différentielles ordinaires 106
1.30 Systèmes d’équations différentielles linéaires à coefficients constants 111
1.31 Sur la théorie de la stabilité de Lyapunov 117
1.32 Méthode d’Euler de la solution approximative des équations différentielles du premier ordre 133
1.33 Une méthode de différence pour la solution approximative d’équations différentielles basée sur la formule de Taylor. Méthode Adams 142
1.34 Une méthode approximative d’intégration de systèmes d’équations différentielles du premier ordre 146

Exercices sur le chapitre 1 146

CHAPITRE 2 INTÉGRALES MULTIPLES

2.1 Doubles intégraux 158
2.2 Calcul des doubles intégraux 161
2.3 Calcul des intégrales doubles (suite) 166
2.4 Calcul des surfaces et des volumes au moyen d’intégrales doubles 172
2.5 La double intégrale en coordonnées polaires 175
2.6 Changement de variables dans une intégrale double (cas général) 182
2.7 Calcul de l’aire d’une surface 187
2.8 La distribution de densité de la matière et la double intégrale 190
2.9 Le moment d’inertie de l’aire d’un plan figure 191
2.10 Les coordonnées du centre de gravité de l’aire d’un plan figure 196
2.11 Triple intégraux 197
2.12 Évaluation d’une triple intégrale 198
2.13 Changement de variables dans une intégrale triple 204
2.14 Le moment d’inertie et les coordonnées du centre de gravité d’un solide 207
2.15 Calcul d’intégraux dépendant d’un paramètre 209
Exercices sur le chapitre 2 211

CHAPITRE 3 INTÉGRALES DE LIGNE ET INTÉGRALES DE SURFACE

3.1 Intégrales de ligne 216
3.2 Évaluation d’une intégrale de ligne 219
3.3 Formule 225 de Green
3.4 Conditions pour qu’une intégrale de ligne soit indépendante du chemin d’intégration 227
3.5 Intégrales de surface 232
3.6 Évaluation des intégrales de surface 234
3.7 Stokes* formule 236
3.8 Formule 241 d’Ostrogradsky
3.9 L’opérateur hamiltonien et certaines applications 244

Exercices sur le chapitre 3

SÉRIE DU CHAPITRE 4

Série 4.1. Somme d’une série 253
4.2 Condition nécessaire à la convergence d’une série 256
4.3 Comparaison de séries avec des termes positifs 258
4.4 Le test D’Alembert 260
4.5 Test de Cauchy 264
4.6 Le test intégral de convergence d’une série 266
4.7 Séries alternées. Théorème de Leibniz 269
4.8 Séries plus et moins. Convergence absolue et conditionnelle 271
4.9 Série fonctionnelle 274
4.10 Série décimée 275
4.11 La continuité de la somme d’une série 277
4.12 Intégration et différenciation de la série 280
4.13 Série de puissance. Intervalle de convergence 283
4.14 Différenciation des séries de puissance 288
4.15 Série en puissances de x-a 289
4.16 Série de Taylor et série de Maclaurin 290
4.17 Série expansion des fonctions 292
4.18 Formule d’Euler 294
4.19 La série binomiale 295
4.20 Expansion de la fonction ln (1 + x ) dans une série de puissance. Logarithmes de calcul 297
4.21 Évaluation en série des intégrales définies 299
4.22 Intégration d’équations différentielles au moyen de la série 301
4.23 Équation de Bessel 303
4.24 Séries avec des termes complexes 308
4.25 Série de puissance dans une variable complexe 309
4.26 La solution des équations différentielles du premier ordre par la méthode des approximations successives (méthode d’itération) 312
4.27 Preuve de l’existence d’une solution d’une équation différentielle. Estimation des erreurs dans les solutions approximatives 313
4.28 Le théorème d’unicité de la solution d’une équation différentielle 318

Exercices sur le chapitre 4 319

CHAPITRE 5 SÉRIE DE FOURIER

5.1 Définition. Énoncé du problème 327
5.2 Expansions de fonctions dans la série de Fourier 331
5.3 Une remarque sur l’expansion d’une fonction périodique dans une série de Fourier 336
5.4 Séries de Fourier pour les fonctions paires et impaires 338
5.5 La série de Fourier pour une fonction de période 339
5.6 Sur l’expansion d’une fonction non périodique dans la série aFourier 341
5.7 Approximation moyenne d’une fonction donnée par un polynôme trigonométrique 343
5.8 L’intégrale de Dirichlet 348
5.9 La convergence d’une série de Fourier en un point donné 351
5.10 Certaines conditions suffisantes pour la convergence d’une série de Fourier 352
5.11 Analyse harmonique pratique 355 5.12 La série de Fourier sous forme complexe 356
5.13 Intégrale de Fourier 358
5.14 L’intégrale de Fourier sous forme complexe 362
5.15 Expansion de la série de Fourier par rapport à un système orthogonal de fonctions 364
5.16 Le concept d’un espace fonctionnel linéaire. Expansion des fonctions en séries de Fourier par rapport à la décomposition des vecteurs 367

Exercices sur le chapitre 5 371

CHAPITRE 6 ÉQUATIONS DE LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

6.1 Types d’équations de base de la physique mathématique 374
6.2 Dériver l’équation de la corde vibrante. Formulation du problème de la valeur limite. Dériver des équations d’oscillations électriques dans
fils 375
6.3 Solution de l’équation de la corde vibrante par la méthode de séparation des variables (la méthode de Fourier ) 378
6.4 L’équation de la conduction thermique dans une tige. Formulation du problème de la valeur limite 382
6.5 Transfert de chaleur dans l’espace 384
6.6 Solution du premier problème de valeur limite pour l’équation de conduction thermique par la méthode des différences finies 387
6.7 Transfert de chaleur dans une tige non bornée 389
6.8 Problèmes qui se réduisent à l’étude des solutions de l’équation de Laplace. Énoncer des problèmes de valeur limite 394
6.9 L’équation de Laplace en coordonnées cylindriques. Solution du problème de Dirichlet pour un anneau à valeurs constantes de la fonction désirée sur les circonférences intérieure et extérieure 399
6.10 La solution du problème de Dirichlet pour un cercle 401
6.11 Solution du problème de Dirichlet par la méthode des différences finies 405

Exercices sur le chapitre 6 407

CHAPITRE 7 CALCULAIS OPÉRATIONNEL ET CERTAINES DE SES APPLICATIONS

7.1 La fonction d’origine et sa transformation 411
7.2 Transformations des fonctions 𝜎_{0} (t). sin t, cos t 413
7.3 La transformée d’une fonction à échelle modifiée de la variable indépendante. Transformations des fonctions sin at, cos at 414
7.4 La propriété de linéarité d’une transformée 415
7.5 Le théorème de décalage 416
7.6 Transforme des fonctions e^{-𝛼t}, sinh 𝛼t, cosh 𝛼t, e^{-𝛼t} péché 𝛼t, e^{-𝛼t} cos 𝛼t 416
7.7 Différenciation des transformations 417
7.8 Les transformées des dérivés 419
7.9 Tableau des transformations 420
7.10 Une équation auxiliaire pour une équation différentielle donnée 422
7.11 Théorème de décomposition 426
7.12 Exemples de solutions d’équations différentielles et de systèmes d’équations différentielles par la méthode opérationnelle 428
7.13 Le théorème de convolution 429
7.14 Les équations différentielles des vibrations mécaniques. Les équations différentielles de la théorie des circuits électriques 432
7.15 Solution de l’équation différentielle des oscillations 433
7.16 Enquête sur les oscillations libres 435
7.17 Étude des oscillations mécaniques et électriques dans le cas d’une force externe périodique 435
7.18 Résolution de l’équation d’oscillation dans le cas de la résonance 437
7.19 Le théorème du retard 439
7.20 La fonction delta et sa transformée 440

Exercices sur le chapitre 7 443

CHAPITRE 8 ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DES PROBABILITÉS ET DES STATISTIQUES MATHÉMATIQUES

8.1 Événement aléatoire. Fréquence relative d’un événement aléatoire. La probabilité d’un événement. Le sujet de la théorie des probabilités 445
8.2 La définition classique de la probabilité et le calcul des probabilités 447
8.3 L’ajout de probabilités. Événements aléatoires complémentaires 449
8.4 Multiplication des probabilités de e v e n t s indépendant 452
8.5 Événements dépendants. Probabilité conditionnelle. Probabilité totale 454
8.6 Probabilité des causes. Formule 457 de Bayes
8.7 Une variable aléatoire discrète. La loi de distribution d’une variable aléatoire discrète 460
8.8 Fréquence relative et probabilité de fréquence relative dans les essais répétés 462
8.9 L’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète 466
8.10 Écart. Écart racine-moyenne-carrée (standard). Moments 471
8.11 Fonctions des variables aléatoires 474
8.12 Variable aléatoire continue. Fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire continue. La probabilité que la variable aléatoire tombe dans un intervalle spécifié 475
8.13 La fonction de distribution. Loi de répartition uniforme 479
8.14 Caractéristiques numériques d’une variable aléatoire continue 482
8.15 Distribution normale. L’attente d’une distribution normale 485
8.16 Variance et écart-type d’une variable aléatoire normalement distribuée 487
817 La probabilité qu’une valeur de la variable aléatoire tombe dans un intervalle donné. La fonction Laplace. Fonction de distribution normale 488
8.18 Erreur probable 493
8.19 Exprimer la distribution normale en termes d’erreur probable. La fonction Laplace réduite 494
8.20 La règle des trois sigmas. Distribution des erreurs 496
8.21 Erreur arithmétique moyenne 497
8.22 Module de précision. Relations entre les caractéristiques de la distribution des erreurs 498
8.23 Variables aléatoires bidimensionnelles 499
8.24 Distribution normale dans le plan 502
8.25 La probabilité qu’une variable aléatoire bidimensionnelle tombe dans un rectangle de côtés parallèles aux axes principaux de dispersion
en vertu de la loi de distribution normale 504
8.26 La probabilité qu’une variable aléatoire bidimensionnelle tombe dans l’ellipse de dispersion 506
8.27 Problèmes de statistiques mathématiques. Données statistiques 507
8.28 Séries statistiques. Histogramme 508
8.29 Détermination d’une valeur appropriée d’une grandeur mesurée 511
8.30 Détermination des paramètres d’une loi de distribution. Théorème de Lyapunov. Théorème de Laplace 512

Exercices sur le chapitre 8 516

CHAPITRE 9 MATRICES

9.1 Transformations linéaires. Notation matricielle 519
9.2 Définitions générales des matrices 522
9.3 Transformation inverse 524
9.4 Opérations sur matrices. Addition de matrices 526
9.5 Transformation d’un vecteur en un autre vecteur au moyen d’une matrice 529
9.6 Matrice inverse 531
9.7 Inversion de matrice 532
9.8 Notation matricielle pour les systèmes d’équations linéaires et les solutions des systèmes d’équations linéaires 534
9.9 Résolution de systèmes d’équations linéaires par la méthode matricielle 535
9.10 Mappages orthogonaux. Matrices orthogonales 537
9.11 Le vecteur propre d’une transformation linéaire 540
9.12 La matrice d’une transformation linéaire sous laquelle les vecteurs de base
sont des vecteurs propres 543
9.13 Transformation de la matrice d’une transformation linéaire lors d’un changement
la base 544
9.14 Formes quadratiques et leur transformation 547
9.15 Le rang d’une matrice. L’existence de solutions d’un système d’équations linéaires 549
9.16 Différenciation et intégration des matrices 550
9.17 Notation matricielle pour les systèmes d’équations différentielles et de solutions
des systèmes d’équations différentielles à coefficients constants 552
9.18 Notation matricielle pour une équation linéaire d’ordre n 557
9.19 Résoudre un système d’équations différentielles linéaires à coefficients variables par la méthode des approximations successives à l’aide d’une matrice
notation 558

Exercices sur le chapitre 9 563

Annexe 565
Indice 567

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Cálculo Diferencial E Integral – Volume 1, 2 – Piskounov (Piskunov) (Português)

Posted on May 27, 2022 by The Mitr

Neste post, veremos os tão esperados dois conjuntos de Volume diferencial e Cálculo Integral de N. Piskunov.

Sobre o livro

Livro de texto do falecido professor Nikolai Piskunov DSs (física e Matemática) é dedicado às divisões mais importantes da matemática superior. Esta edição revisada e publicada pela última vez em dois volumes

O primeiro volume trata dos seguintes tópicos: número, variável, Função, limite, continuidade de uma função, derivada e diferencial, certos teoremas sobre funções diferenciáveis, a curvatura de uma curva, Números Complexos, polinômios, funções de várias variáveis, aplicações de Cálculo Diferencial para geometria sólida, a Integral indefinida, a Integral definida, aplicações mecânicas da Integral Definida.

O segundo volume trata dos seguintes tópicos: Equações Diferenciais, Integrais múltiplas, integrais de linha e superfície, Séries, Séries de Fourier, equações da Física Matemática, Cálculo operacional e certas de suas aplicações, elementos da teoria da probabilidade e Estatística Matemática, matrizes.

Existem inúmeros exemplos e problemas em cada seção do curso muitos deles demonstram os laços entre matemática e outros sentidos, tornando o livro útil para o auto-estudo é um livro didático para escolas técnicas superiores que passou por várias edições em russo e também foi traduzido para francês e espanhol e português.

O livro foi traduzido do russo por Antonio Eduardo Pereira Teixeira e Maria Jose Pereira Teixeira. Os livros foram publicados pela Edições Lopes da Silva em 1997.

(Desculpas por quaisquer erros, estou usando a tradução automática.)

Todos os créditos para uploaders originais.

Versão em Português

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Versión en Español

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Conteudo

Volume 1

Capítulo I. número. VARIAVEL. FUNCAO

1.1 números reais. Números reais como pontos em uma escala numérica 11
1.2 O valor absoluto de um número real 12
1.3. Variáveis e constantes 14
1.4 o intervalo de uma variável 14
1.5 variáveis ordenadas. Variáveis crescentes e decrescentes. Variáveis Delimitadas 16
1.6 função 16
1.7 formas de representar funções 18
1.8 funções elementares básicas. Funções elementares 20
1.9 funções algébricas 24
1.10 sistema de coordenadas polares 26

Exercícios sobre o Capítulo 27

Capítulo 2. LIMITAR. CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

2.1 o limite de uma variável. Uma variável infinitamente grande 29
2.2 o limite de uma função 31
2.3 uma função que se aproxima do infinito. Funções limitadas 35
2.4 infinitesimais e suas propriedades básicas 39
2.5 teoremas básicos sobre limites 42
2.6 o limite da função sin x / x as x → 0 46
2.0. O número e 47
2.8 logaritmos naturais 51
2.9 continuidade das funções 53
2.10 certas propriedades de funções contínuas 57
2.11 comparando infinitesimais 59

Exercícios no Capítulo 2 61

Capítulo 3. DERIVADA E DIFERENCIAL

3.1 velocidade do movimento 65
3.2 A definição de uma derivada 67
3.3 significado geométrico da derivada 69
3.4 Diferenciabilidade das funções 70
3.5 a derivada da função y = x^{n}, n um número inteiro positivo 74
3.6 derivados das funções y = sin x, y = cos x 75
3.7 derivados de: uma constante, o produto de uma constante por uma função, uma soma, um produto e um quociente 75
3.8 a derivada de uma função logarítmica 80
3.9 a derivada de uma função composta 81
3.10 derivados das funções y = tan x, y = cot x , y = ln / x / 83
3.11 uma função implícita e sua diferenciação 85
3.12 derivadas de uma função de potência para um expoente real arbitrário, de função exponencial geral e de uma função exponencial composta 87
3.13 uma função inversa e sua diferenciação 89
3.14 funções trigonométricas inversas e sua diferenciação 92
3.15 fórmulas básicas de diferenciação 96
3.16 representação paramétrica de uma função 98
3.17 as equações de algumas curvas na forma paramétrica 99
3.18 a derivada de uma função representada parametricamente 102
3.19 funções hiperbólicas 104
3.20 o diferencial. 107
3.21 o significado geométrico do diferencial 111
3.22 derivados de ordens diferentes 112
3.23 diferenciais de ordens diferentes 114
3.24 derivados (de várias ordens) de funções implícitas e de funções representadas parametricamente 116
3.25 o significado mecânico da segunda derivada 118
3.26 as equações de uma tangente e de um normal. Os comprimentos de um subtangente e um subnormal 119
3.27 o significado geométrico da derivada do vetor de raio em relação ao ângulo polar 122

Exercícios sobre o Capítulo 3

Capítulo 4. ALGUNS TEOREMAS SOBRE FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS

4.1 um teorema sobre as raízes de uma derivada (teorema de Rolle) 133
4.2 o teorema do valor médio (teorema de Lagrange) 135
4.3 o teorema do valor médio generalizado (teorema de Cauchy) 136
4.4 o limite de uma razão de dois infinitesimais (avaliando formas indeterminadas do tipo 0/0 137
4.5 o limite de uma razão de duas quantidades infinitamente grandes (avaliando formas indeterminadas do tipo ∞/∞) 140
4.6 fórmula 145 de Taylor
4.7 expansão das funções e^{x}, sin x e cos x em uma série de Taylor 149

Exercícios sobre o Capítulo 4 152

Capítulo 5. INVESTIGAR O COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES

5.1 declaração do problema 155
5.2 aumento e diminuição de uma função 156
5.3 máximos e mínimos de funções 157
5.4 testando uma função diferenciável para máximo e mínimo com uma primeira derivada 164
5.5 testar uma função para o máximo e mínimo com uma segunda derivada 166
5.6 máximo e mínimo de uma função em um intervalo 170
5.7 aplicando a teoria dos máximos e mínimos de funções à solução de problemas 171
5.8 testar uma função para o máximo e o mínimo por meio da Fórmula 173 de Taylor
5.9 convexidade e concavidade de uma curva. Pontos de inflexão 175
5.10 assíntotas 182
5.11 plano geral para investigar funções e construir gráficos 186
5.12 investigando curvas representadas parametricamente 190

Exercícios sobre o Capítulo 5 194

Capítulo 6. A CURVATURA DE UMA CURVA

6.1 Comprimento Do Arco e sua derivada 200
6.2 curvatura 202
6.3 cálculo da curvatura 204
6.4 calcular a curvatura de uma curva representada parametricamente 207
6.5 Calculando a curvatura de uma curva dada por uma equação nas coordenadas polares 207
6.6 o raio e o círculo de curvatura. O centro da curvatura. Evolução e involução 208
6.7 as propriedades de um evolute 213
6.8 aproximando as raízes reais de uma equação 216

Exercícios sobre o Capítulo 6 221

Capítulo 7. NÚMEROS COMPLEXOS. POLINOMIO

7.1 números complexos. Definições básicas 224
7.2 operações básicas em números complexos 226
7.3 poderes e raízes de números complexos 229
7.4 função exponencial com expoente complexo e suas propriedades 231
7.5 fórmula de Euler. A forma exponencial de um número complexo 234
7.6 fatoração de um polinômio 235
7.7 as múltiplas raízes de um polinômio 238
7.8 fatoração de um polinômio no caso de raízes complexas 240
7.9 interpolação. Fórmula de interpolação de Lagrange 241
7.10 fórmula de interpolação de Newton 243
7.11 diferenciação numérica 245
7.12 sobre a melhor aproximação de funções por polinômios. Teoria de Chebyshev 246

Exercícios sobre o Capítulo 7 247

Capítulo 8. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

8.1 definição de uma função de várias variáveis 249
8.2 representação geométrica de uma função de duas variáveis 252
8.3 incremento parcial e total de uma função 253
8.4 continuidade de uma função de várias variáveis 254
8.5 Derivadas Parciais de uma função de várias variáveis 257
8.6 uma interpretação geométrica das derivadas parciais de uma função de duas variáveis 259
8.7 incremento Total e diferencial total 260
8.8 Aproximação por diferenciais totais 263
8.9 utilização de um diferencial para estimar erros nos cálculos 264
8.10 a derivada de uma função composta. A derivada total. O diferencial total de uma função composta 267
8.11 a derivada de uma função definida implicitamente 270
8.12 derivativos parciais de ordens superiores 273
8.13 superfícies niveladas 277
8.14 derivada direcional 278
8.15 gradiente 281
8.16 fórmula de Taylor para uma função de duas variáveis 284
8.17 máximo e mínimo de uma função de várias variáveis 286
8.18 máximo e mínimo de uma função de várias variáveis relacionadas por equações dadas (máximos e mínimos condicionais) 293
8.19 obtenção de uma função com base em dados experimentais pelo método dos Mínimos Quadrados 298
8.20 pontos singulares de uma curva 302

Exercícios no Capítulo 8 307

Capítulo 9. APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL À GEOMETRIA SÓLIDA

9.1 as equações de uma curva no espaço 311
9.2 o limite e a derivada da função vetorial de um argumento escalar. A equação de uma tangente a uma curva. A equação de um plano normal 314
9.3 regras para diferenciar vetores (funções vetoriais) 320
9.4 a primeira e a segunda derivadas de um vetor em relação ao comprimento do arco. A curvatura de uma curva. O principal normal. A velocidade e aceleração de um ponto em movimento curvilíneo 322
9.5 avião Osculante. Binormal. Torção 330
9.6 o plano tangente e o normal a uma superfície 335

Exercícios sobre o Capítulo 9 338

Capítulo 10. PRIMITIVO

10.1 antiderivativo e a integral indefinida 341
10.2 tabela de integrais 343
10.3 algumas propriedades da integral indefinida 345
10.4 integração por substituição (mudança de variável) 347
10.5 integrais de algumas funções contendo um trinômio quadrático 350
10.6 integração por partes 352
10.7 frações Racionais. Frações racionais parciais e sua integração 356
10.8 decomposição de uma fração racional em frações parciais 359
10.9 integração de frações racionais 363
10.10 integrais de funções irracionais 366
10.11 integrais da forma ∫r(x,√(ax^2+bx+c)) dx 367
10.12 integração de certas classes de funções trigonométricas 370
10.13 integração de certas funções irracionais por meio de substituições trigonométricas 375
10.14 sobre funções cujas integrais não podem ser expressas em termos de funções elementares 377

Exercícios no Capítulo 10 378

Capítulo 11. A INTEGRAL DEFINIDA

11.1 declaração do problema. Somas inferiores e superiores 387
11.2 a integral definida. Prova da existência de uma integral definida 389
11.3 propriedades básicas da integral definida 399
11.4 avaliação de uma integral definida. A fórmula Newton-Leibniz 402
11.5 mudança de variável na integral definida 407
11.6 integração por partes 408
11.7 integrais impróprias 411
11.8 aproximando integrais definidas 419
11.9 fórmula 424 de Chebyshev
11.10 integrais dependentes de um parâmetro. A função gama 429
11.11 integração de uma função complexa de uma variável real 433

Exercícios sobre o Capítulo 11 433

Capítulo 12. APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA INTEGRAL DEFINIDA

12.1 áreas de computação em coordenadas retangulares 437
12.2 a área de um setor Curvilíneo nas coordenadas polares 440
12.3 o comprimento do arco de uma curva 441
12.4 computando o volume de um sólido das áreas de seções paralelas (volumes por corte) 447
12.5 o volume de um sólido de revolução 449
12.6 a superfície de um sólido de revolução 450
12.7 trabalho de Computação pela integral definida 452
12.8 coordenadas do centro de gravidade 453
12.9 computando o momento de inércia de uma linha, um círculo e um cilindro por meio de uma integral definida 456

Exercícios sobre o Capítulo 12 458

Índice 465

Volume 2

CAPÍTULO 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1.1 declaração do problema. A equação de movimento de um corpo com resistência do meio proporcional à velocidade. Equacao
de uma catenária 11
1.2 definições 14
1.3 equações diferenciais de primeira ordem (noções gerais) 15
1.4 equações com variáveis separadas e separáveis. O problema da desintegração do rádio 20
1.5 equações homogêneas de primeira ordem 24
1.6 equações redutíveis a equações homogêneas 26
1.7 equações lineares de primeira ordem 29
1.8 equação de Bernoulli 32
1.9 equações diferenciais exatas 34
1.10 Fator de integração 37
1.11 o envelope de uma família de curvas 39
1.12 soluções singulares de uma equação diferencial de primeira ordem 45
1.13 equação de Clairaut 46
1.14 equação de Lagrange 48
1.15 trajetórias ortogonais e isogonais 50
1.16 equações diferenciais de ordem superior (fundamentos) 55
1.17 uma equação da forma y^{(n)} = f (x) 56
1.18 alguns tipos de equações diferenciais de segunda ordem redutíveis a equações de primeira ordem. Problema de velocidade de Escape 59
1.19 método gráfico de integração de equações diferenciais de Segunda Ordem 66
1.20 equações lineares homogêneas. Definições e propriedades gerais 68
1.21 equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes 75
1.22 equações lineares homogêneas da enésima ordem com coeficientes constantes 80
1.23 equações lineares de segunda ordem não homogêneas 82
1.24 equações lineares de segunda ordem não homogêneas com coeficientes constantes 86
1.25 equações lineares não homogêneas de ordem superior 93
1.26 a equação diferencial das vibrações mecânicas 97
1.27 oscilações livres 98
1.28 oscilações forçadas 102
1.29 Sistemas de equações diferenciais ordinárias 106
1.30 Sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 111
1.31 sobre a teoria da estabilidade de Lyapunov 117
1.32 método de Euler de solução aproximada de equações diferenciais de primeira ordem 133
1.33 um método de diferença para solução aproximada de equações diferenciais com base na fórmula de Taylor. Método Adams 142
1.34 um método aproximado para integrar sistemas de equações diferenciais de primeira ordem 146

Exercícios sobre o Capítulo 1 146

CAPÍTULO 2 INTEGRAIS MÚLTIPLAS

2.1 integrais duplos 158
2.2 cálculo de integrais duplos 161
2.3 cálculo de integrais duplas (continuação) 166
2.4 cálculo de áreas e volumes por meio de integrais duplas 172
2.5 a integral dupla nas coordenadas polares 175
2.6 mudança de variáveis em uma integral dupla (caso geral) 182
2.7 computando a área de uma superfície 187
2.8 a distribuição de densidade da matéria e a integral dupla 190
2.9 o momento de inércia da área de um plano figura 191
2.10 as coordenadas do centro de gravidade da área de um plano figura 196
2.11 integrais triplos 197
2.12 avaliando uma integral tripla 198
2.13 mudança de variáveis em uma integral tripla 204
2.14 o momento de inércia e as coordenadas do centro de gravidade de um sólido 207
2.15 Computação integrada dependente de um parâmetro 209
Exercícios sobre o Capítulo 2 211

CAPÍTULO 3 INTEGRAIS DE LINHA E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

3.1 integrais de linha 216
3.2 avaliação de uma linha integral 219
3.3 fórmula 225 de Green
3.4 condições para que uma integral de linha seja independente do caminho de integração 227
3.5 integrais de superfície 232
3.6 avaliação de Integrais de superfície 234
3.7 Stokes* fórmula 236
3.8 fórmula 241 de Ostrogradsky
3.9 o operador Hamiltoniano e algumas aplicações 244

Exercícios sobre o Capítulo 3

CAPÍTULO 4 SÉRIE

4.1 série. Soma de uma série 253
4.2 condição necessária para a convergência de uma série 256
4.3 comparando séries com termos positivos 258
4.4 teste de D’Alembert 260
4.5 teste de Cauchy 264
4.6 o teste integral para convergência de uma série 266
4.7 série alternada. Teorema de Leibniz 269
4.8 série mais e menos. Convergência absoluta e condicional 271
4.9 série funcional 274
4.10 série dizimada 275
4.11 a continuidade da soma de uma série 277
4.12 integração e diferenciação da série 280
4.13 série de potência. Intervalo de convergência 283
4.14 diferenciação da série de potência 288
4.15 série em poderes de x – a 289
4.16 série de Taylor e série de Maclaurin 290
4.17 expansão da série de funções 292
4.18 fórmula 294 de Euler
4.19 a série binomial 295
4.20 expansão da função ln (1 + x) em uma série de energia. Logaritmos computacionais 297
4.21 avaliação em série de Integrais Definidos 299
4.22 integração de equações diferenciais por meio da série 301
4.23 equação de Bessel 303
4.24 série com termos complexos 308
4.25 série de potência em uma variável complexa 309
4.26 a solução de equações diferenciais de primeira ordem pelo método de aproximações sucessivas (método de iteração) 312
4.27 prova da existência de uma solução de uma equação diferencial. Estimativa de erros em soluções aproximadas 313
4.28 o teorema da singularidade da solução de uma equação diferencial 318

Exercícios no Capítulo 4 319

CAPÍTULO 5 SÉRIE DE FOURIER

5.1 Definição. Declaração do problema 327
5.2 expansões de funções na série de Fourier 331
5.3 uma observação sobre a expansão de uma função periódica em uma série de Fourier 336
5.4 série de Fourier para funções pares e ímpares 338
5.5 A série de Fourier para uma função com período 339
5.6 sobre a expansão de uma função não periódica na série aFourier 341
5.7 aproximação média de uma determinada função por um polinômio trigonométrico 343
5.8 A integral Dirichlet 348
5.9 a convergência de uma série de Fourier em um determinado ponto 351
5.10 certas condições suficientes para a convergência de uma série de Fourier 352
5.11 análise harmônica prática 355 5.12 A série de Fourier em forma complexa 356
5.13 integral de Fourier 358
5.14 a integral de Fourier em forma complexa 362
5.15 expansão da série de Fourier em relação a um sistema ortogonal de funções 364
5.16 o conceito de um espaço de função linear. Expansão de funções na série de Fourier em comparação com a decomposição de vetores 367

Exercícios sobre o Capítulo 5 371

CAPÍTULO 6 EQUAÇÕES DA FÍSICA MATEMÁTICA

6.1 tipos básicos de equações da Física Matemática 374
6.2 derivando a equação da corda Vibratória. Formulando o problema do valor limite. Derivando equações de oscilações elétricas em
fios 375
6.3 solução da equação da corda Vibratória pelo método de separação de variáveis (o método de Fourier ) 378
6.4 a equação da condução de calor em uma haste. Formulação do problema do valor limite 382
6.5 transferência de calor no espaço 384
6.6 solução do primeiro problema de valor limite para a equação de condução de calor pelo método de diferenças finitas 387
6.7 transferência de calor em uma haste ilimitada 389
6.8 problemas que reduzem a investigação de soluções da equação de Laplace. Indicando problemas de valor limite 394
6.9 a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Solução do problema de Dirichlet para um anel com valores constantes da função desejada nas circunferências interna e externa 399
6.10 a solução do problema de Dirichlet para um círculo 401
6.11 solução do problema de Dirichlet pelo método das diferenças finitas 405

Exercícios sobre o Capítulo 6 407

CAPÍTULO 7 CÁLCULOS OPERACIONAIS E ALGUMAS DE SUAS APLICAÇÕES

7.1 a função original e sua transformação 411
7.2 transformações das funções _ _ {0}(t). sin t, cos t 413
7.3 a transformação de uma função Com Escala Alterada da variável independente. Transformações das funções pecam em, cos em 414
7.4 a propriedade de linearidade de uma transformação 415
7.5 o teorema da mudança 416
7.6 as Transformações das funções e^{-𝛼t}, sinh 𝛼t, cosh 𝛼t, e^{-𝛼t} pecado 𝛼t, e^{-𝛼t} cos 𝛼t 416
7.7 diferenciação de transformações 417
7.8 as transformações dos derivados 419
7.9 tabela de transformações 420
7.10 uma equação auxiliar para uma dada equação diferencial 422
7.11 teorema da decomposição 426
7.12 exemplos de soluções de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais pelo método operacional 428
7.13 o teorema da convolução 429
7.14 as equações diferenciais das vibrações mecânicas. As equações diferenciais da teoria do circuito elétrico 432
7.15 solução da equação diferencial das oscilações 433
7.16 investigando oscilações livres 435
7.17 investigar oscilações mecânicas e elétricas no caso de uma força externa periódica 435
7.18 resolvendo a equação de oscilação no caso da ressonância 437
7.19 o teorema do atraso 439
7.20 a função delta e sua transformação 440

Exercícios sobre o Capítulo 7 443

CAPÍTULO 8 ELEMENTOS DA TEORIA DA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA MATEMÁTICA

8.1 evento aleatório. Frequência relativa de um evento aleatório. A probabilidade de um evento. O assunto da teoria da probabilidade 445
8.2 A definição clássica de probabilidade e o cálculo de probabilites 447
8.3 a adição de probabilites. Eventos aleatórios complementares 449
8.4 multiplicação de probabilites de independente e v e n t s 452
8.5 eventos dependentes. Probabilidade condicional. Probabilidade Total 454
8.6 probabilidade de causas. Fórmula 457 de Bayes
8.7 uma variável aleatória discrète. A lei de distribuição de uma variável aleatória discrète 460
8.8 frequência relativa e probabilidade de frequência relativa em ensaios repetidos 462
8.9 a expectativa matemática de uma variável aleatória discrète 466
8.10 variância. Desvio raiz-média-quadrado (padrão). Momentos 471
8.11 funções de variáveis aleatórias 474
8.12 variável aleatória contínua. Função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua. A probabilidade da variável aleatória cair em um intervalo especificado 475
8.13 a função de distribuição. Lei da distribuição uniforme 479
8.14 características numéricas de uma variável aleatória contínua 482
8.15 distribuição Normal. A expectativa de uma distribuição normal 485
8.16 variância e desvio padrão de uma variável aleatória normalmente distribuída 487
817 a probabilidade de um valor da variável aleatória cair em um determinado intervalo. A função Laplace. Função de distribuição Normal 488
8.18 erro provável 493
8.19 expressando a distribuição normal em termos do erro provável. A função Laplace reduzida 494
8.20 a regra três sigma. Distribuição de erros 496
8.21 erro aritmético médio 497
8.22 Módulo de precisão. Relações entre as características da distribuição de erros 498
8.23 variáveis aleatórias bidimensionais 499
8.24 distribuição Normal no plano 502
8.25 a probabilidade de uma variável aleatória bidimensional cair em um retângulo com lados paralelos aos eixos principais de dispersão
de acordo com a lei de distribuição normal 504
8.26 a probabilidade de uma variável aleatória bidimensional cair na elipse de dispersão 506
8.27 problemas da Estatística Matemática. Dados estatísticos 507
8.28 séries estatísticas. Histograma 508
8.29 determinar um valor adequado de uma quantidade medida 511
8.30 determinar os parâmetros de uma lei de distribuição. Teorema de Lyapunov. Teorema de Laplace 512

Exercícios sobre o Capítulo 8 516

CAPÍTULO 9 MATRIZES

9.1 transformações lineares. Notação de matriz 519
9.2 Definições Gerais envolvendo matrizes 522
9.3 transformação inversa 524
9.4 operações em matrizes. Adição de matrizes 526
9.5 transformando um vetor em outro Vetor por meio de uma matriz 529
9.6 matriz inversa 531
9.7 inversão da matriz 532
9.8 Notação matricial para sistemas de equações lineares e soluções de sistemas de equações lineares 534
9.9 resolvendo sistemas de equações lineares pelo método da matriz 535
9.10 mapeamentos ortogonais. Matrizes ortogonais 537
9.11 o autovetor de uma transformação linear 540
9.12 a matriz de uma transformação linear sob a qual os vetores de base
são autovetores 543
9.13 transformando a matriz de uma transformação linear ao mudar
a base 544
9.14 formas quadráticas e sua transformação 547
9.15 a classificação de uma matriz. A existência de soluções de um sistema de equações lineares 549
9.16 diferenciação e integração de matrizes 550
9.17 Notação matricial para sistemas de equações e soluções diferenciais
de sistemas de equações diferenciais com coeficientes constantes 552
9.18 notação de matriz para uma equação linear da ordem n 557
9.19 resolvendo um sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis pelo método de aproximações sucessivas usando matriz
Notação 558

Exercícios sobre o Capítulo 9 563

Apêndice 565
Índice 567

Posted in books, mathematics | Tagged a curvatura de uma curva, a Integral definida, a Integral indefinida, aplicações de Cálculo Diferencial para geometria sólida, aplicações mecânicas da Integral Definida, Cálculo operacional e certas de suas aplicações, certos teoremas sobre funções diferenciáveis, continuidade de uma função, derivada e diferencial, elementos da teoria da probabilidade e Estatística Matemática, equações da Física Matemática, Equações Diferenciais, Função, funções de várias variáveis, integrais de linha e superfície, Integrais múltiplas, Límite, matemática superior, matrizes, Número, Números Complexos, Polinomios, series, Series de Fourier, variável | 1 Comment

I need new and more bookshelves…

Posted on May 26, 2022 by The Mitr

Even with three layers of books, making many of them inaccessible, to fit them all in the space. I have run out of space to keep them. And atleast equal number of books are not here.

To add to the woes the steel shelf has begun to bend under the weight of the books…. Such are the days .

Posted in books | 5 Comments

Cálculo Diferencial e Integral (2 tomo) – N. Piskunov (Español)

Posted on May 26, 2022 by The Mitr

En esta publicación, veremos el tan esperado Cálculo Diferencial e Integral de dos conjuntos de volúmenes de N. Piskunov.

Sobre el libro

Libro de texto del difunto profesor Nikolai Piskunov DSs (Física y Matemáticas) está dedicado a las divisiones más importantes de las matemáticas superiores. Esta edición revisada y publicada por última vez en dos volúmenes

El primer volumen trata los siguientes temas: Número, Variable, Función, Límite, Continuidad de una Función, Derivada y Diferencial, Ciertos Teoremas sobre Funciones Diferenciables, La Curvatura de una Curva, Números Complejos, Polinomios, Funciones de Varias Variables, Aplicaciones del Cálculo Diferencial a la Geometría Sólida, La Integral Indefinida, La Integral Definida, Aplicaciones Mecánicas de la Integral Definida.

El segundo volumen trata los siguientes temas: Ecuaciones Diferenciales, Integrales Múltiples, Integrales de Líneas y Superficies, Series, Series de Fourier, Ecuaciones de Física Matemática, Cálculo Operacional y Algunas de sus Aplicaciones, Elementos de la Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática, Matrices.

Hay numerosos ejemplos y problemas en cada sección del curso, muchos de ellos demuestran los vínculos entre las matemáticas y otros sentidos que hacen que el libro sea útil para el autoaprendizaje.es un libro de texto para escuelas técnicas superiores que ha pasado por varias ediciones en ruso y también ha sido traducido al francés y al español.

Los libros fueron traducidos del ruso por K. Medkov y publicados por Mir en formato de 2 volúmenes en 1977.

(Estoy usando la traducción automática para la publicación, disculpas por cualquier error.)

Créditos a los cargadores originales.

Versión en Español

Volume 1 here

Volume 2 here

Contenido

Volumen 1

CAPÍTULO I. NÚMERO. VARIABLE. FUNCIÓN

1.1 Números reales. Números reales como puntos en una escala numérica 11
1.2 El valor absoluto de un número real 12
1.3. Variables y constantes 14
1.4 El rango de una variable 14
1.5 Variables ordenadas. Variables crecientes y decrecientes. Variables Acotadas 16
1.6 Función 16
1.7 Formas de representar funciones 18
1.8 Funciones elementales básicas. Funciones elementales 20
1.9 funciones Algebraicas 24
1.10 Sistema de coordenadas polares 26

Ejercicios sobre el capítulo 27

CAPÍTULO 2. LIMITE. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

2.1 El límite de una variable. Una variable infinitamente grande 29
2.2 El límite de una función 31
2.3 Una función que se acerca al infinito. Funciones acotadas 35
2.4 Infinitesimales y sus propiedades básicas 39
2.5 Teoremas básicos sobre los límites 42
2.6 El límite de la función sin x / x como x → 0 46
2.0. El número e 47
2.8 logaritmos Naturales 51
2.9 Continuidad de funciones 53
2.10 Ciertas propiedades de las funciones continuas 57
2.11 Comparación de infinitesimales 59

Ejercicios sobre el capítulo 2 61

CAPÍTULO 3. DERIVADA Y DIFERENCIAL

3.1 Velocidad de movimiento 65
3.2 La definición de una derivada 67
3.3 Significado geométrico de la derivada 69
3.4 Diferenciabilidad de funciones 70
3.5 La derivada de la función y=x^{n}, n un entero positivo 74
3.6 Derivadas de las funciones y = sin x, y = cos x 75
3.7 Derivados de: una constante, el producto de una constante por una función, una suma, un producto y un cociente 75
3.8 La derivada de una función logarítmica 80
3.9 La derivada de una función compuesta 81
3.10 Derivados de las funciones y = tan x, y = cot x, y = ln |x| 83
3.11 Una función implícita y su diferenciación 85
3.12 Derivadas de una función de potencia para un exponente real arbitrario, de una función exponencial general y de una función exponencial compuesta 87
3.13 Una función inversa y su diferenciación 89
3.14 funciones trigonométricas Inversas y su diferenciación 92
3.15 Fórmulas básicas de diferenciación 96
3.16 representación Paramétrica de una función 98
3.17 Las ecuaciones de algunas curvas en forma paramétrica 99
3.18 La derivada de una función representada paramétricamente 102
3.19 funciones Hiperbólicas 104
3.20 El diferencial. 107
3.21 El significado geométrico del diferencial 111
3.22 Derivados de órdenes diferentes 112
3.23 Diferenciales de diferentes órdenes 114
3.24 Derivadas (de varios órdenes) de funciones implícitas y de funciones representadas paramétricamente 116
3.25 El significado mecánico de la segunda derivada 118
3.26 Las ecuaciones de una tangente y de una normal. Las longitudes de un subtangente y un subnormal 119
3.27 El significado geométrico de la derivada del vector de radio con respecto al ángulo polar 122

Ejercicios sobre el capítulo 3

CAPÍTULO 4. ALGUNOS TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DIFERENCIABLES

4.1 Un teorema sobre las raíces de una derivada (teorema de Rolle) 133
4.2 El teorema del valor medio (teorema de Lagrange) 135
4.3 El teorema del valor medio generalizado (teorema de Cauchy) 136
4.4 El límite de una relación de dos infinitesimales (evaluación de formas indeterminadas del tipo 0/0 137
4.5 El límite de una relación de dos cantidades infinitamente grandes (evaluación de formas indeterminadas del tipo ∞/∞) 140
4.6 Fórmula 145 de Taylor
4.7 Expansión de las funciones e^{x}, sin x y cos x en una serie de Taylor 149

Ejercicios sobre el capítulo 4 152

CAPÍTULO 5. INVESTIGAR EL COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES

5.1 planteamiento del problema 155
5.2 Aumento y disminución de una función 156
5.3 Máximos y mínimos de funciones 157
5.4 Prueba de una función diferenciable para máximo y mínimo con una primera derivada 164
5.5 Prueba de una función para máximo y mínimo con una segunda derivada 166
5.6 Máximo y mínimo de una función en un intervalo 170
5.7 Aplicación de la teoría de máximos y mínimos de funciones a la solución de problemas 171
5.8 Prueba de una función para máximo y mínimo por medio de la fórmula 173 de Taylor
5.9 Convexidad y concavidad de una curva. Puntos de inflexión 175
5.10 Asíntotas 182
5.11 Plan general para investigar funciones y construir gráficos 186
5.12 Investigación de curvas representadas paramétricamente 190

Ejercicios sobre el capítulo 5 194

CAPÍTULO 6. LA CURVATURA DE UNA CURVA

6.1 Longitud de arco y su derivada 200
6.2 Curvatura 202
6.3 Cálculo de la curvatura 204
6.4 Cálculo de la curvatura de una curva representada paramétricamente 207
6.5 Cálculo de la curvatura de una curva dada por una ecuación en coordenadas polares 207
6.6 el radio y El círculo de curvatura. El centro de curvatura. Evoluciones e involuciones 208
6.7 Las propiedades de un evolute 213
6.8 Aproximación de las raíces reales de una ecuación 216

Ejercicios sobre el capítulo 6 221

CAPÍTULO 7. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

7.1 Números complejos. Definiciones básicas 224
7.2 Operaciones básicas en números complejos 226
7.3 Potencias y raíces de números complejos 229
7.4 función Exponencial con exponente complejo y sus propiedades 231
7.5 Fórmula de Euler. La forma exponencial de un número complejo 234
7.6 Factorización de un polinomio 235
7.7 Las raíces múltiples de un polinomio 238
7.8 Factorización de un polinomio en el caso de raíces complejas 240
7.9 Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange 241
7.10 Fórmula de interpolación de Newton 243
7.11 Diferenciación numérica 245
7.12 Sobre la mejor aproximación de funciones por polinomios. Teoría de Chebyshev 246

Ejercicios sobre el capítulo 7 247

CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

8.1 Definición de una función de varias variables 249
8.2 Representación geométrica de una función de dos variables 252
8.3 Incremento parcial y total de una función 253
8.4 Continuidad de una función de varias variables 254
8.5 Derivadas parciales de una función de varias variables 257
8.6 Una interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables 259
8.7 Incremento total y diferencial total 260
8.8 Aproximación por diferenciales totales 263
8.9 Uso de un diferencial para estimar errores en los cálculos 264
8.10 La derivada de una función compuesta. La derivada total. El diferencial total de una función compuesta 267
8.11 La derivada de una función definida implícitamente 270
8.12 derivadas Parciales de órdenes superiores 273
8.13 Superficies planas 277
8.14 Derivada direccional 278
8.15 Gradiente 281
8.16 Fórmula de Taylor para una función de dos variables 284
8.17 Máximo y mínimo de una función de varias variables 286
8.18 Máximo y mínimo de una función de varias variables relacionadas por ecuaciones dadas (máximos y mínimos condicionales) 293
8.19 Obtención de una función sobre la base de datos experimentales por el método de mínimos cuadrados 298
8.20 Puntos singulares de una curva 302

Ejercicios sobre el capítulo 8 307

CAPÍTULO 9. APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRÍA SÓLIDA

9.1 Las ecuaciones de una curva en el espacio 311
9.2 El límite y la derivada de la función vectorial de un argumento escalar. La ecuación de una tangente a una curva. La ecuación de un plano normal 314
9.3 Reglas para diferenciar vectores (funciones vectoriales) 320
9.4 La primera y segunda derivadas de un vector con respecto a la longitud del arco. La curvatura de una curva. El principal normal. La velocidad y aceleración de un punto en movimiento curvilíneo 322
9.5 Plano osculante. Binormal. Torsión 330
9.6 El plano tangente y la normal a una superficie 335

Ejercicios sobre el capítulo 9 338

CAPÍTULO 10. LA INTEGRAL INDEFINIDA

10.1 Antiderivada y la integral indefinida 341
10.2 Tabla de integrales 343
10.3 Algunas propiedades de la integral indefinida 345
10.4 Integración por sustitución (cambio de variable) 347
10.5 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrático 350
10.6 Integración por partes 352
10.7 fracciones Racionales. Fracciones racionales parciales y su integración 356
10.8 Descomposición de una fracción racional en fracciones parciales 359
10.9 Integración de fracciones racionales 363
10.10 Integrales de funciones irracionales 366
10.11 Integrales de la forma ∫R (x,√(ax^2 + bx+c)) dx 367
10.12 Integración de ciertas clases de funciones trigonométricas 370
10.13 Integración de ciertas funciones irracionales por medio de sustituciones trigonométricas 375
10.14 Sobre funciones cuyas integrales no pueden expresarse en términos de funciones elementales 377

Ejercicios sobre el capítulo 10 378

CAPÍTULO 11. LA INTEGRAL DEFINIDA

11.1 Declaración del problema. Sumas inferiores y superiores 387
11.2 La integral definida. Prueba de la existencia de una integral definida 389
11.3 Propiedades básicas de la integral definida 399
11.4 Evaluación de una integral definida. La fórmula 402 de Newton-Leibniz
11.5 Cambio de variable en la integral definida 407
11.6 Integración por partes 408
11.7 Integrales impropias 411
11.8 Aproximación de integrales definidas 419
11.9 Fórmula 424 de Chebyshev
11.10 Integrales dependientes de un parámetro. La función gamma 429
11.11 Integración de una función compleja de una variable real 433

Ejercicios sobre el capítulo 11 433

CAPÍTULO 12. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

12.1 Áreas de computación en coordenadas rectangulares 437
12.2 El área de un sector curvilíneo en coordenadas polares 440
12.3 La longitud del arco de una curva 441
12.4 Cálculo del volumen de un sólido a partir de las áreas de secciones paralelas (volúmenes por corte) 447
12.5 El volumen de un sólido de revolución 449
12.6 La superficie de un sólido de revolución 450
12.7 Trabajo computacional por la integral definida 452
12.8 Coordenadas del centro de gravedad 453
12.9 calcular el momento de inercia de una línea, un círculo, y un cilindro por medio de una integral definida 456

Ejercicios sobre el capítulo 12 458

Índice 465

Volumen 2

CAPÍTULO 1 ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 Enunciado del problema. Ecuación de movimiento de un cuerpo con resistencia del medio proporcional a la velocidad. Ecuación
de una catenaria, 11
1.2 Definiciones 14
1.3 Ecuaciones diferenciales de primer orden (nociones generales) 15
1.4 Ecuaciones con variables separadas y separables. El problema de la desintegración del radio 20
1.5 Ecuaciones homogéneas de primer orden 24
1.6 Ecuaciones reducibles a ecuaciones homogéneas 26
1.7 Ecuaciones lineales de primer orden 29
1.8 Ecuación de Bernoulli 32
1.9 Ecuaciones diferenciales exactas 34
1.10 Factor de integración 37
1.11 La envolvente de una familia de curvas 39
1.12 Soluciones singulares de una ecuación diferencial de primer orden 45
1.13 Ecuación de Clairaut 46
1.14 Ecuación de Lagrange 48
1.15 Trayectorias ortogonales e isogonales 50
1.16 Ecuaciones diferenciales de orden superior (fundamentos) 55
1.17 Una ecuación de la forma y^{(n)} = f (x) 56
1.18 Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a ecuaciones de primer orden. Problema de velocidad de escape 59
1.19 Método gráfico de integración de ecuaciones diferenciales de segundo orden 66
1.20 Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades generales 68
1.21 Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes 75
1.22 Ecuaciones lineales homogéneas de orden n con coeficientes constantes 80
1.23 Ecuaciones lineales de segundo orden no homogéneas 82
1.24 Ecuaciones lineales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes 86
1.25 Ecuaciones lineales no homogéneas de orden superior 93
1.26 La ecuación diferencial de las vibraciones mecánicas 97
1.27 Oscilaciones libres 98
1.28 oscilaciones Forzadas 102
1.29 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 106
1.30 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 111
1.31 Sobre la teoría de la estabilidad de Lyapunov 117
1.32 Método de Euler para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden 133
1.33 Un método de diferencia para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales basadas en la fórmula de Taylor. Método Adams 142
1.34 Un método aproximado para integrar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 146

Ejercicios sobre el capítulo 1 146

CAPÍTULO 2 INTEGRALES MÚLTIPLES

2.1 Doble integración 158
2.2 Cálculo de números enteros dobles 161
2.3 Cálculo de integrales dobles (continuación) 166
2.4 Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles 172
2.5 La integral doble en coordenadas polares 175
2.6 Cambio de variables en una integral doble (caso general) 182
2.7 Cálculo del área de una superficie 187
2.8 La distribución de densidad de la materia y la doble integral 190
2.9 El momento de inercia del área de un plano figura 191
2.10 Las coordenadas del centro de gravedad del área de un plano figura 196
2.11 Triple integración 197
2.12 Evaluación de una integral triple 198
2.13 Cambio de variables en una integral triple 204
2.14 El momento de inercia y las coordenadas del centro de gravedad de un sólido 207
2.15 Cálculo de integrales dependientes de un parámetro 209
Ejercicios sobre el capítulo 2 211

CAPÍTULO 3 INTEGRALES DE LÍNEA E INTEGRALES DE SUPERFICIE

3.1 Integrales de línea 216
3.2 Evaluación de una integral de línea 219
3.3 Fórmula 225 de Green
3.4 Condiciones para que una integral de línea sea independiente de la trayectoria de integración 227
3.5 Integrales de superficie 232
3.6 Evaluación de integrales de superficie 234
3.7 Stokes* fórmula 236
3.8 Fórmula 241 de Ostrogradsky
3.9 El operador hamiltoniano y algunas aplicaciones 244

Ejercicios sobre el capítulo 3

CAPÍTULO 4 SERIES

4.1 Serie. Suma de una serie 253
4.2 Condición necesaria para la convergencia de una serie 256
4.3 Comparación de series con términos positivos 258
4.4 Prueba de D’Alembert 260
4.5 Prueba de Cauchy 264
4.6 La prueba integral de convergencia de una serie 266
4.7 Series alternas. Teorema de Leibniz 269
4.8 Series de más y menos. Convergencia absoluta y condicional 271
4.9 Serie funcional 274
4.10 Serie diezmada 275
4.11 La continuidad de la suma de una serie 277
4.12 Integración y diferenciación de la serie 280
4.13 Serie de potencia. Intervalo de convergencia 283
4.14 Diferenciación de la serie de potencias 288
4.15 Series en potencias de x-a 289
4.16 Serie de Taylor y serie 290 de Maclaurin
4.17 Expansión de funciones en serie 292
4.18 Fórmula 294 de Euler
4.19 La serie binomial 295
4.20 Expansión de la función ln (1 + x ) en una serie de potencias. Cálculo de logaritmos 297
4.21 Evaluación de series de integrales definidas 299
4.22 Integración de ecuaciones diferenciales por medio de la serie 301
4.23 Ecuación de Bessel 303
4.24 Series con términos complejos 308
4.25 Serie de potencias en una variable compleja 309
4.26 La solución de ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de aproximaciones sucesivas (método de iteración) 312
4.27 Prueba de la existencia de una solución de una ecuación diferencial. Estimación de errores en soluciones aproximadas 313
4.28 El teorema de unicidad de la solución de una ecuación diferencial 318

Ejercicios sobre el capítulo 4 319

CAPÍTULO 5 SERIES DE FOURIER

5.1 Definición. Planteamiento del problema 327
5.2 Expansiones de funciones en la serie 331 de Fourier
5.3 Una observación sobre la expansión de una función periódica en una serie de Fourier 336
5.4 Series de Fourier para funciones pares e impares 338
5.5 La serie de Fourier para una función con período 339
5.6 Sobre la expansión de una función no periódica en una serie de Fourier 341
5.7 Aproximación media de una función dada por un polinomio trigonométrico 343
5.8 La integral de Dirichlet 348
5.9 La convergencia de una serie de Fourier en un punto dado 351
5.10 Ciertas condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier 352
5.11 Análisis armónico práctico 355 5.12 La serie de Fourier en forma compleja 356
5.13 Integral de Fourier 358
5.14 La integral de Fourier en forma compleja 362
5.15 Expansión de la serie de Fourier con respecto a un sistema ortogonal de funciones 364
5.16 El concepto de un espacio de función lineal. Expansión de funciones en series de Fourier en comparación con descomposición de vectores 367

Ejercicios sobre el capítulo 5 371

CAPÍTULO 6 ECUACIONES DE LA FÍSICA MATEMÁTICA

6.1 Tipos básicos de ecuaciones de física matemática 374
6.2 Derivar la ecuación de la cuerda vibratoria. Formulación del problema del valor límite. Derivando ecuaciones de oscilaciones eléctricas en
cables 375
6.3 Solución de la ecuación de la cuerda vibrante por el método de separación de variables (el método de Fourier ) 378
6.4 La ecuación de la conducción de calor en una varilla. Formulación del problema del valor límite 382
6.5 Transferencia de calor en el espacio 384
6.6 Solución del primer problema de valor límite para la ecuación de conducción de calor por el método de diferencias finitas 387
6.7 Transferencia de calor en una varilla ilimitada 389
6.8 Problemas que se reducen a investigar soluciones de la ecuación de Laplace. Declaración de problemas de valores límite 394
6.9 La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo con valores constantes de la función deseada en las circunferencias interior y exterior 399
6.10 La solución del problema de Dirichlet para un círculo 401
6.11 Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias finitas 405

Ejercicios sobre el capítulo 6 407

CAPÍTULO 7 CÁLCULO OPERACIONAL Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

7.1 La función original y su transformación 411
7.2 Transformaciones de las funciones 𝜎_{0} (t). sin t, cos t 413
7.3 La transformación de una función con escala cambiada de la variable independiente. Transformadas de las funciones sin at, cos at 414
7.4 La propiedad de linealidad de una transformada 415
7.5 El teorema del desplazamiento 416
7.6 transformadas de las funciones e^{-𝛼t}, sinh 𝛼t, cosh 𝛼t, e^{-𝛼t} pecado 𝛼t, e^{-𝛼t} cos 𝛼t 416
7.7 Diferenciación de transformadas 417
7.8 Las transformadas de las derivadas 419
7.9 Tabla de transformadas 420
7.10 Una ecuación auxiliar para una ecuación diferencial dada 422
7.11 Teorema de descomposición 426
7.12 Ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales y Sistemas de ecuaciones diferenciales por el método operativo 428
7.13 El teorema de convolución 429
7.14 Las ecuaciones diferenciales de las vibraciones mecánicas. Las ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos 432
7.15 Solución de la ecuación diferencial de oscilaciones 433
7.16 Investigación de oscilaciones libres 435
7.17 Investigación de oscilaciones mecánicas y eléctricas en el caso de una fuerza externa periódica 435
7.18 Resolución de la ecuación de oscilación en el caso de la resonancia 437
7.19 El teorema del retraso 439
7.20 La función delta y su transformada 440

Ejercicios sobre el capítulo 7 443

CAPÍTULO 8 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

8.1 evento Aleatorio. Frecuencia relativa de un evento aleatorio. La probabilidad de un evento. La asignatura de teoría de la probabilidad 445
8.2 La definición clásica de probabilidad y el cálculo de probabilidades 447
8.3 La adición de probabilidades. Eventos aleatorios complementarios 449
8.4 Multiplicación de probabilitas de e v e n t s independientes 452
8.5 eventos Dependientes. Probabilidad condicional. Probabilidad total 454
8.6 Probabilidad de causas. Fórmula 457 de Bayes
8.7 Una variable aleatoria discreta. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta 460
8.8 Frecuencia relativa y probabilidad de frecuencia relativa en ensayos repetidos 462
8.9 La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta 466
8.10 Variación. Desviación cuadrática media (estándar). Momentos 471
8.11 Funciones de variables aleatorias 474
8.12 variable aleatoria Continua. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en un intervalo especificado 475
8.13 La función de distribución. Ley de distribución uniforme 479
8.14 Características numéricas de una variable aleatoria continua 482
8.15 Distribución normal. La expectativa de una distribución normal 485
8.16 Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria distribuida normalmente 487
817 La probabilidad de que un valor de la variable aleatoria caiga en un intervalo dado. La función de Laplace. Función de distribución normal 488
8.18 Error probable 493
8.19 Expresar la distribución normal en términos del error probable. La función de Laplace reducida 494
8.20 La regla de tres sigma. Distribución de errores 496
8.21 Error aritmético medio 497
8.22 Módulo de precisión. Relaciones entre las características de la distribución de errores 498
8.23 Variables aleatorias bidimensionales 499
8.24 Distribución normal en el plano 502
8.25 La probabilidad de que una variable aleatoria bidimensional caiga en un rectángulo con lados paralelos a los ejes principales de dispersión
bajo la ley de distribución normal 504
8.26 La probabilidad de que una variable aleatoria bidimensional caiga en la elipse de dispersión 506
8.27 Problemas de estadística matemática. Datos estadísticos 507
8.28 series Estadísticas. Histograma 508
8.29 Determinación de un valor adecuado de una cantidad medida 511
8.30 Determinación de los parámetros de una distribución. Teorema de Lyapunov. Teorema de Laplace 512

Ejercicios sobre el capítulo 8 516

CAPÍTULO 9 MATRICES

9.1 transformaciones Lineales. Notación matricial 519
9.2 Definiciones generales que involucran matrices 522
9.3 Transformación inversa 524
9.4 Operaciones sobre matrices. Adición de matrices 526
9.5 Transformación de un vector en otro vector por medio de una matriz 529
9.6 Matriz inversa 531
9.7 Inversión de matriz 532
9.8 Notación matricial para Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 534
9.9 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método matricial 535
9.10 Asignaciones ortogonales. Matrices ortogonales 537
9.11 El vector propio de una transformación lineal 540
9.12 La matriz de una transformación lineal bajo la cual los vectores base
son vectores propios 543
9.13 Transformación de la matriz de una transformación lineal al cambiar
la base 544
9.14 Formas cuadráticas y su transformación 547
9.15 El rango de una matriz. La existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 549
9.16 Diferenciación e integración de matrices 550
9.17 Notación matricial para Sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones
de Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 552
9.18 Notación matricial para una ecuación lineal de orden n 557
9.19 Resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables por el método de aproximaciones sucesivas usando matriz
notación 558

Ejercicios sobre el capítulo 9 563

Apéndice 565
Índice 567

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Theory Of Luminescence – Stepanov, Gribkovskii

Posted on May 25, 2022 by The Mitr

In this post, we will see the book Theory Of Luminescence by B. I. Stepanov and V. P. Gribkovskii.

About the book

In the present monograph, an attempt is made to give an account of the fundamentals of the theory of luminescence or, more precisely, the theory of photo-luminescence. The first three chapters are concerned with classical emission theory, and the quantum mechanics and quantum-electro dynamics which are necessary for the understanding of the physical processes leading to luminescence.

The next two chapters discuss the general principles of the theory of absorption and luminescence without reference to any specific models of matter. These chapters are devoted to a detailed study of the optical properties of the harmonic oscillator and of systems of particles with two, three or more energy levels.

Much of the material given in this book is based on the original work carried out at the Institute of Physics of the Academy of Sciences Byelorussian SSR. In particular, a detailed description is given of the effect of the thermal emission background, the properties of negative radiation fluxes and negative luminescence. Non-linear optical phenomena which arise in the interaction of matter with high, and occasionally with ordinary, fluxes of radiation are systematically investigated. They include departures from Bouguer’s law, depolarisation, induced dichroism and amplification and generation of radiation in media with negative absorption coefficients.

The book was translated from Russian by Scripta Technica and edited by S. Chomet. The book was published in 1968.

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You can get the book here. (Note: some pages may be missing.)

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Preface 7

1 Classical theory of absorption and emission of light 1
2 Quantum theory of absorption and emission of light 75
3 Quantum-electrodynamic theory of the interaction of radiation with matter 184
4 Absorption 229
5 Luminescence 300
6 Optical properties of the harmonic oscillator 357
7 Absorption and luminescence of a system of particles with two energy levels 400
8 Systems of particles with an arbitrary number of energy levels 438

References 483

Index 487

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A Collection Of Problems (Higher Mathematics) – Bugrov, Nikolsky

Posted on May 24, 2022 by The Mitr

In this post we will see the problem book A Collection Of Problems ( Higher Mathematics) by Ya. S. Bugrov; S. M. Nikolsky.

About the book

This collection of about 1200 problems has been compiled for the following three textbooks by the same authors: Fundamentals o f Linear Algebra and Analytical Geometry. Differential and Integral Calculus. Differential Equations. Multiple Integrals. Series. Theory Functions of a Complex Variable, thus completing a course in higher mathematics for engineering students and forming a four-book series entitled “Higher Mathematics”. Academician S. Nikolsky is the author of the two-volume textbook A Course of Mathematical Analysis issued in English by Mir Publishers in 1977 and re printed in 1981.

All the problems are provided with answers, some of the problems are supplied with hints. The book contains many worked problems.

At the beginning of each section references are given indicating the chapters and sections of the above mentioned books where the corresponding theoretical material can be found.

The book was translated from the Russian by Leonid Levant and was published by Mir Publishers in 1984.

You can get the book here.

Preface 9

Chapter 1. Introduction to Analysis 11

Chapter 2. Integrals 25

Chapter 3. Fundamentals of Linear Algebra and Analytical 33

Chapter 4. Functions of Several Variables 57

Chapter 5. Series 64

Chapter 6. Differential Equations 69

Chapter 7. Multiple Integrals 79

Chapter 8. Vector Analysis 86

Chapter 9. Fourier Series and Fourier Integral 100

Chapter 10. Equations of Mathematical Physics

Chapter 11. Functions of a Complex Variable 108

Chapter 12. Operational Calculus 122

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Units Of Measurements Of Physical Quantities – Chertov

Posted on May 23, 2022 by The Mitr

In this post, we will see the book Units Of Measurements Of Physical Quantities by A. G. Chertov.

About the book

UNITS OF MEASUREMENT OF PHYSICAL QUANTITIES is a unique and convenient volume that will be of equal interest as a textbook to the advanced high school student and graduate physics or engineering major, or as a reference volume to the teacher as well as the practicing physicist, chemist, engineer, or laboratory and industrial technician. The coverage combines treatment of units, dimensional analysis, and good physics and provides a fundamental contribution to the subject. The author takes nothing for granted; every step is explicitly explained by proof and derivation. Although the subject of units of physical quantities is usually touched upon in fundamental textbooks on physics, chemistry, or engineering, and while most handbooks contain a small section devoted to this topic accompanied by a number of numerical conversion tables, no work equivalent to this one exists in the English language.

The book was translated from Russian by was published in by Publishers.

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Preface v
Greek Alphabet ix

Chapter I. General Aspects of Selection of Units. Formulation of Systems of Units 1

1. Selection of Units of Measurement. Fundamental and Derived Quantities and Units 3

2. Dimensions of Derived Quantities and Units of Measurement 6

3. Proportionality Factor in Physical Formulas 9
1. Proportionality Factor in Fundamental Equations 9
2. Proportionality Factor in Physical Formulas Which Are Not Fundamental Equations 10

4. Systems of Units Adopted in Science and Engineering 11

Chapter II. Systems of Mechanical Units 13

1. The MKS System (practical) 13
1. Fundamental Units in the MKS System 13
2. Derived Units in the MKS System 14
2. The cgs System (physical) 22
1. Fundamental Units in the cgs System 22
2. Derived Units in the cgs System 23

3. The Metric Gravitational (MKGFS) System (Technical) 24
1. Fundamental Units in the MKGFS System 24
2. Derived Units in the MKGFS System 24

4. The British Absolute (f lbm s) System 30
1. Fundamental Units in the flbms System 31
2. Derived Units in the flbm s System 31

5. The British Gravitational (f lbfs) System 38
1. Fundamental Units in the f lbfs System 39
2. Derived Units in the f lbfs System 39

6. Relationships Among Mechanical Units in Different Systems 44

1. Relationship Among Units in MKS and cgs Systems 45
2. Relationships Among Units in the MKS and flbm s Systems 49
3. Other Units in the f lbm s and f lbf s Systems 53
4. Relationships Among Units in the f lbm s and f lbf s Systems 54

7. Other Units of Mechanical Quantities 55
8. Rules for Calculation in Solving Physical Problems 59

Chapter III. Units of Measurement of Acoustic Quantities 64

1. Units of Measurement of Quantities Characterising Sound as a Physical Phenomenon 64
2. Units of Measurement of Quantities Characterising Sound as a Psycho-Physical Phenomenon 68

Chapter IV. Units of Measurement of Quantities Used in Molecular Physics 72

1. Temperature 73
2. Derived Molecular Physics Units in the MKS and cgs systems 76
3. Solution of Problems in Molecular Physics 84

Chapter V. Systems of Units for Measurement of Electromagnetic Quantities 87

1. The MKSA (practical) System 87
2. The cgs esu system 102
3. The cgs emu system 109
4. The cgs System (Gaussian System) 117
5. The Rationalized MKSA system 119
6. Relationships Among Electromagnetic Units in Different Systems 122
7. Sample Solutions of Problems in Electromagnetism 129

Chapter VI. Units of Measurement of Quantities of Electromagnetic Radiation 133

1. Units of Measurement of Energy Quantities in Electromagnetic Radiation 134
2. Units of Measurement of Quantities of Thermal Radiation 137
3. Units of Measurement of Photometric Quantities 138
4. Units of Measurement of Quantities of Radioactive Decay 141
5. Units of Measurement of Quantities Characterizing the Action Between Radiation and Matter 143

Appendices 151
Index 163

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How The Carpathian Mountains Were Born – A Ukrainian Legend – Skrypnyk

Posted on May 22, 2022 by The Mitr

In this post, we will see the book How The Carpathian Mountains Were Born – A Ukrainian Legend -by Mary Skrypnyk.

About the book

A Ukrainian folktale about the formation of Carpathian mountains.

The book was translated from Russian by Mary Skrypnyk and illustrated by Nadia Kirilova. The book was published in 1984 by Dnipro Publishers Kiev.

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Human Disease with Natural Foci – Pavlovsky (Ed.)

Posted on May 21, 2022 by The Mitr

In this post, we will see the book Human Diseases With Natural Foci edited by Y. N. Pavlovsky.

About the book

This book contains an outline of the basic concepts of the theory of human diseases with natural foci, with a detailed summary of contemporary data on tick borne encephalitis, Siberian tick typhus, tick borne relapsing fever, leptospiroses, tularemia, and leishmaniases Field and laboratory research techniques, as well as methods of prevention and control, are described.

The book is intended as a manual for epidemiologists, microbiologists, virologists, parasitologists, physicians employed at anti-epidemic stations, medical arachno-entomologists, and teachers at medical institutes.

The book was translated from Russian by D. Rottenberg and was published in 1957 by Foreign Languages Publishing House.

Original scan by DLI.

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The Current Status of the Theory of Natural Focality of Human Diseases by Academician Y N Pavlovsky

Tick Borne Encephalitis by Academician Y. N. Pavlovsky, P. A. Petrishcheva M. V. Shekhanov and Z. M. Zhmayeva

Asian Tick Typhus by S. P. Piontkovskaya and O. S. Korshunova

Tick Borne Relapsing Fever by Academician Y. N. Pavlovsky

Leptospiroses by V. Ananyin and E Karasyov

Tularemia by N. Olsufyev

Leishmaruases by P. Petrishcheva D. Zasukhin and V. Safyanova

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Plasma Astrophysics – Kaplan, Tsytovich

Posted on May 20, 2022 by The Mitr

In this post, we will see the book Plasma Astrophysics by S. A. Kaplan; V. N. Tsytovich.

About the book

The authors considered the task of writing a book in which fairly complicated topics would be presented, if possible, in an intelligible form without sacrificing the exactness and generality of a qualitative description of the physics of the various phenomena and their mathematical formulation. The book is not intended solely for astrophysicists. The problems of the theory of the interaction of fast particles with a plasma, their radiation, and the behaviour of a plasma in a very strong magnetic field are of interest also for the study of laboratory plasmas.

The first chapter of the book gives at a relatively elementary, but physically rigorous, level the general ideas of the nature of collective plasma processes and of plasma turbulence, using the method of elementary excitations, developed by one of the authors and expounded in more detail in other monographs (Tsytovich, 1970, 1971a, 1972b). This chapter serves essentially as an introduction to the other three chapters which contain the main contents of the book and are devoted to the actual analysis of plasma processes on the Sun (Chapter 2), in objects such as galactic nuclei and quasars (Chapter 3) and in pulsars (Chapter 4). The authors have attempted to write the general theoretical part of these chapters independent of the actual estimates, bearing in mind possible future applications of the theory and probable new astrophysical discoveries. The same purpose is also served by the detailed tables of the probabilities of various processes in the Appendix—where we also indicate methods to apply them—where we have given in a convenient form also the probabilities which were not directly used in the book.

The topics of the present book are based upon lectures given by V. N. Tsytovich at the Moscow State University (in 1968 to 1971) and in the Institute of Cosmic Studies (in 1971) and by S. A. Kaplan at the Gor’kil State University (in 1968 to 1971).

The book was translated from Russian by D. Ter Haar was published in 1973.

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Preface to the Russian Edition ix
Preface to the English Edition xiii

Introduction 1

Chapter I The Physics of Plasma Turbulence 11

§ 1. The frequencies and waves of plasma turbulence 11
§ 2. Emission and absorption mechanisms for waves in a plasma 25
§ 3. Non-linear wave interactions in a plasma 37
§ 4. Nature, spectrum, and excitation of plasma turbulence 51
§ 5. Diffusion of charged particles and of electromagnetic radiation in the field of plasma turbulence 73
§ 6. Laboratory studies of plasma turbulence and possible laboratory models for cosmic plasma phenomena 88

Chapter II Sporadic Radio-emission of the Sun (Turbulent Processes in a Non-relativistic Plasma) 101

§ 7. Observational data on the sporadic solar radio-emission 101
§ 8. Excitation of longitudinal and transverse plasmon turbulence by a beam instability 115
§ 9. Electromagnetic radiation from ion-sound turbulence 133
§ 10. Discussion of the theory of solar radio-bursts 140

Chapter III Galactic Nuclei, Radio-galaxies, Quasars (Turbulent Processes in a Plasma with an Admixture of Ultra-Relativistic Electrons) 151

§ 11. Brief summary of observational data on galactic nuclei, radio-galaxies and quasars 151
§ 12. Emission by ultra-relativistic particles in a plasma 158
§ 13. Plasma and Compton emission mechanisms of ultra-relativistic particles 179
§ 14. Plasma turbulence reactors for relativistic electrons 199
§ 15. The interpretation of the electromagnetic radiation of galactic nuclei, radio-galaxies and quasars 210

Chapter IV Pulsar Emission (Turbulent processes in a relativistic plasma with a strong magnetic field) 219

§ 16. Observational data about pulsars 219
§ 17. A relativistic plasma in a strong magnetic field 226
§ 18. Emission by an ultra-relativistic plasma in a stron magnetic field 240
§ 19. Turbulent reactors in a relativistic plasma 249
§ 20. The interpretation of pulsar emission 257

Conclusion (Problems for the further development of plasma astrophysics) 271

Appendix (Tables of averaged probabilities for plasma processes) 275

References 290

Index 297

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