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Contenido

Volumen 1

CAPÍTULO I. NÚMERO. VARIABLE. FUNCIÓN

1.1 Números reales. Números reales como puntos en una escala numérica 11
1.2 El valor absoluto de un número real 12
1.3. Variables y constantes 14
1.4 El rango de una variable 14
1.5 Variables ordenadas. Variables crecientes y decrecientes. Variables Acotadas 16
1.6 Función 16
1.7 Formas de representar funciones 18
1.8 Funciones elementales básicas. Funciones elementales 20
1.9 funciones Algebraicas 24
1.10 Sistema de coordenadas polares 26

Ejercicios sobre el capítulo 27

CAPÍTULO 2. LIMITE. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

2.1 El límite de una variable. Una variable infinitamente grande 29
2.2 El límite de una función 31
2.3 Una función que se acerca al infinito. Funciones acotadas 35
2.4 Infinitesimales y sus propiedades básicas 39
2.5 Teoremas básicos sobre los límites 42
2.6 El límite de la función sin x / x como x → 0 46
2.0. El número e 47
2.8 logaritmos Naturales 51
2.9 Continuidad de funciones 53
2.10 Ciertas propiedades de las funciones continuas 57
2.11 Comparación de infinitesimales 59

Ejercicios sobre el capítulo 2 61

CAPÍTULO 3. DERIVADA Y DIFERENCIAL

3.1 Velocidad de movimiento 65
3.2 La definición de una derivada 67
3.3 Significado geométrico de la derivada 69
3.4 Diferenciabilidad de funciones 70
3.5 La derivada de la función y=x^{n}, n un entero positivo 74
3.6 Derivadas de las funciones y = sin x, y = cos x 75
3.7 Derivados de: una constante, el producto de una constante por una función, una suma, un producto y un cociente 75
3.8 La derivada de una función logarítmica 80
3.9 La derivada de una función compuesta 81
3.10 Derivados de las funciones y = tan x, y = cot x, y = ln |x| 83
3.11 Una función implícita y su diferenciación 85
3.12 Derivadas de una función de potencia para un exponente real arbitrario, de una función exponencial general y de una función exponencial compuesta 87
3.13 Una función inversa y su diferenciación 89
3.14 funciones trigonométricas Inversas y su diferenciación 92
3.15 Fórmulas básicas de diferenciación 96
3.16 representación Paramétrica de una función 98
3.17 Las ecuaciones de algunas curvas en forma paramétrica 99
3.18 La derivada de una función representada paramétricamente 102
3.19 funciones Hiperbólicas 104
3.20 El diferencial. 107
3.21 El significado geométrico del diferencial 111
3.22 Derivados de órdenes diferentes 112
3.23 Diferenciales de diferentes órdenes 114
3.24 Derivadas (de varios órdenes) de funciones implícitas y de funciones representadas paramétricamente 116
3.25 El significado mecánico de la segunda derivada 118
3.26 Las ecuaciones de una tangente y de una normal. Las longitudes de un subtangente y un subnormal 119
3.27 El significado geométrico de la derivada del vector de radio con respecto al ángulo polar 122

Ejercicios sobre el capítulo 3

CAPÍTULO 4. ALGUNOS TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DIFERENCIABLES

4.1 Un teorema sobre las raíces de una derivada (teorema de Rolle) 133
4.2 El teorema del valor medio (teorema de Lagrange) 135
4.3 El teorema del valor medio generalizado (teorema de Cauchy) 136
4.4 El límite de una relación de dos infinitesimales (evaluación de formas indeterminadas del tipo 0/0 137
4.5 El límite de una relación de dos cantidades infinitamente grandes (evaluación de formas indeterminadas del tipo ∞/∞) 140
4.6 Fórmula 145 de Taylor
4.7 Expansión de las funciones e^{x}, sin x y cos x en una serie de Taylor 149

Ejercicios sobre el capítulo 4 152

CAPÍTULO 5. INVESTIGAR EL COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES

5.1 planteamiento del problema 155
5.2 Aumento y disminución de una función 156
5.3 Máximos y mínimos de funciones 157
5.4 Prueba de una función diferenciable para máximo y mínimo con una primera derivada 164
5.5 Prueba de una función para máximo y mínimo con una segunda derivada 166
5.6 Máximo y mínimo de una función en un intervalo 170
5.7 Aplicación de la teoría de máximos y mínimos de funciones a la solución de problemas 171
5.8 Prueba de una función para máximo y mínimo por medio de la fórmula 173 de Taylor
5.9 Convexidad y concavidad de una curva. Puntos de inflexión 175
5.10 Asíntotas 182
5.11 Plan general para investigar funciones y construir gráficos 186
5.12 Investigación de curvas representadas paramétricamente 190

Ejercicios sobre el capítulo 5 194

CAPÍTULO 6. LA CURVATURA DE UNA CURVA

6.1 Longitud de arco y su derivada 200
6.2 Curvatura 202
6.3 Cálculo de la curvatura 204
6.4 Cálculo de la curvatura de una curva representada paramétricamente 207
6.5 Cálculo de la curvatura de una curva dada por una ecuación en coordenadas polares 207
6.6 el radio y El círculo de curvatura. El centro de curvatura. Evoluciones e involuciones 208
6.7 Las propiedades de un evolute 213
6.8 Aproximación de las raíces reales de una ecuación 216

Ejercicios sobre el capítulo 6 221

CAPÍTULO 7. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

7.1 Números complejos. Definiciones básicas 224
7.2 Operaciones básicas en números complejos 226
7.3 Potencias y raíces de números complejos 229
7.4 función Exponencial con exponente complejo y sus propiedades 231
7.5 Fórmula de Euler. La forma exponencial de un número complejo 234
7.6 Factorización de un polinomio 235
7.7 Las raíces múltiples de un polinomio 238
7.8 Factorización de un polinomio en el caso de raíces complejas 240
7.9 Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange 241
7.10 Fórmula de interpolación de Newton 243
7.11 Diferenciación numérica 245
7.12 Sobre la mejor aproximación de funciones por polinomios. Teoría de Chebyshev 246

Ejercicios sobre el capítulo 7 247

CAPÍTULO 8. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

8.1 Definición de una función de varias variables 249
8.2 Representación geométrica de una función de dos variables 252
8.3 Incremento parcial y total de una función 253
8.4 Continuidad de una función de varias variables 254
8.5 Derivadas parciales de una función de varias variables 257
8.6 Una interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables 259
8.7 Incremento total y diferencial total 260
8.8 Aproximación por diferenciales totales 263
8.9 Uso de un diferencial para estimar errores en los cálculos 264
8.10 La derivada de una función compuesta. La derivada total. El diferencial total de una función compuesta 267
8.11 La derivada de una función definida implícitamente 270
8.12 derivadas Parciales de órdenes superiores 273
8.13 Superficies planas 277
8.14 Derivada direccional 278
8.15 Gradiente 281
8.16 Fórmula de Taylor para una función de dos variables 284
8.17 Máximo y mínimo de una función de varias variables 286
8.18 Máximo y mínimo de una función de varias variables relacionadas por ecuaciones dadas (máximos y mínimos condicionales) 293
8.19 Obtención de una función sobre la base de datos experimentales por el método de mínimos cuadrados 298
8.20 Puntos singulares de una curva 302

Ejercicios sobre el capítulo 8 307

CAPÍTULO 9. APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRÍA SÓLIDA

9.1 Las ecuaciones de una curva en el espacio 311
9.2 El límite y la derivada de la función vectorial de un argumento escalar. La ecuación de una tangente a una curva. La ecuación de un plano normal 314
9.3 Reglas para diferenciar vectores (funciones vectoriales) 320
9.4 La primera y segunda derivadas de un vector con respecto a la longitud del arco. La curvatura de una curva. El principal normal. La velocidad y aceleración de un punto en movimiento curvilíneo 322
9.5 Plano osculante. Binormal. Torsión 330
9.6 El plano tangente y la normal a una superficie 335

Ejercicios sobre el capítulo 9 338

CAPÍTULO 10. LA INTEGRAL INDEFINIDA

10.1 Antiderivada y la integral indefinida 341
10.2 Tabla de integrales 343
10.3 Algunas propiedades de la integral indefinida 345
10.4 Integración por sustitución (cambio de variable) 347
10.5 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrático 350
10.6 Integración por partes 352
10.7 fracciones Racionales. Fracciones racionales parciales y su integración 356
10.8 Descomposición de una fracción racional en fracciones parciales 359
10.9 Integración de fracciones racionales 363
10.10 Integrales de funciones irracionales 366
10.11 Integrales de la forma ∫R (x,√(ax^2 + bx+c)) dx 367
10.12 Integración de ciertas clases de funciones trigonométricas 370
10.13 Integración de ciertas funciones irracionales por medio de sustituciones trigonométricas 375
10.14 Sobre funciones cuyas integrales no pueden expresarse en términos de funciones elementales 377

Ejercicios sobre el capítulo 10 378

CAPÍTULO 11. LA INTEGRAL DEFINIDA

11.1 Declaración del problema. Sumas inferiores y superiores 387
11.2 La integral definida. Prueba de la existencia de una integral definida 389
11.3 Propiedades básicas de la integral definida 399
11.4 Evaluación de una integral definida. La fórmula 402 de Newton-Leibniz
11.5 Cambio de variable en la integral definida 407
11.6 Integración por partes 408
11.7 Integrales impropias 411
11.8 Aproximación de integrales definidas 419
11.9 Fórmula 424 de Chebyshev
11.10 Integrales dependientes de un parámetro. La función gamma 429
11.11 Integración de una función compleja de una variable real 433

Ejercicios sobre el capítulo 11 433

CAPÍTULO 12. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

12.1 Áreas de computación en coordenadas rectangulares 437
12.2 El área de un sector curvilíneo en coordenadas polares 440
12.3 La longitud del arco de una curva 441
12.4 Cálculo del volumen de un sólido a partir de las áreas de secciones paralelas (volúmenes por corte) 447
12.5 El volumen de un sólido de revolución 449
12.6 La superficie de un sólido de revolución 450
12.7 Trabajo computacional por la integral definida 452
12.8 Coordenadas del centro de gravedad 453
12.9 calcular el momento de inercia de una línea, un círculo, y un cilindro por medio de una integral definida 456

Ejercicios sobre el capítulo 12 458

Índice 465

Volumen 2

CAPÍTULO 1 ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1 Enunciado del problema. Ecuación de movimiento de un cuerpo con resistencia del medio proporcional a la velocidad. Ecuación
de una catenaria, 11
1.2 Definiciones 14
1.3 Ecuaciones diferenciales de primer orden (nociones generales) 15
1.4 Ecuaciones con variables separadas y separables. El problema de la desintegración del radio 20
1.5 Ecuaciones homogéneas de primer orden 24
1.6 Ecuaciones reducibles a ecuaciones homogéneas 26
1.7 Ecuaciones lineales de primer orden 29
1.8 Ecuación de Bernoulli 32
1.9 Ecuaciones diferenciales exactas 34
1.10 Factor de integración 37
1.11 La envolvente de una familia de curvas 39
1.12 Soluciones singulares de una ecuación diferencial de primer orden 45
1.13 Ecuación de Clairaut 46
1.14 Ecuación de Lagrange 48
1.15 Trayectorias ortogonales e isogonales 50
1.16 Ecuaciones diferenciales de orden superior (fundamentos) 55
1.17 Una ecuación de la forma y^{(n)} = f (x) 56
1.18 Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a ecuaciones de primer orden. Problema de velocidad de escape 59
1.19 Método gráfico de integración de ecuaciones diferenciales de segundo orden 66
1.20 Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades generales 68
1.21 Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes 75
1.22 Ecuaciones lineales homogéneas de orden n con coeficientes constantes 80
1.23 Ecuaciones lineales de segundo orden no homogéneas 82
1.24 Ecuaciones lineales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes 86
1.25 Ecuaciones lineales no homogéneas de orden superior 93
1.26 La ecuación diferencial de las vibraciones mecánicas 97
1.27 Oscilaciones libres 98
1.28 oscilaciones Forzadas 102
1.29 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 106
1.30 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 111
1.31 Sobre la teoría de la estabilidad de Lyapunov 117
1.32 Método de Euler para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden 133
1.33 Un método de diferencia para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales basadas en la fórmula de Taylor. Método Adams 142
1.34 Un método aproximado para integrar sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 146

Ejercicios sobre el capítulo 1 146

CAPÍTULO 2 INTEGRALES MÚLTIPLES

2.1 Doble integración 158
2.2 Cálculo de números enteros dobles 161
2.3 Cálculo de integrales dobles (continuación) 166
2.4 Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles 172
2.5 La integral doble en coordenadas polares 175
2.6 Cambio de variables en una integral doble (caso general) 182
2.7 Cálculo del área de una superficie 187
2.8 La distribución de densidad de la materia y la doble integral 190
2.9 El momento de inercia del área de un plano figura 191
2.10 Las coordenadas del centro de gravedad del área de un plano figura 196
2.11 Triple integración 197
2.12 Evaluación de una integral triple 198
2.13 Cambio de variables en una integral triple 204
2.14 El momento de inercia y las coordenadas del centro de gravedad de un sólido 207
2.15 Cálculo de integrales dependientes de un parámetro 209
Ejercicios sobre el capítulo 2 211

CAPÍTULO 3 INTEGRALES DE LÍNEA E INTEGRALES DE SUPERFICIE

3.1 Integrales de línea 216
3.2 Evaluación de una integral de línea 219
3.3 Fórmula 225 de Green
3.4 Condiciones para que una integral de línea sea independiente de la trayectoria de integración 227
3.5 Integrales de superficie 232
3.6 Evaluación de integrales de superficie 234
3.7 Stokes* fórmula 236
3.8 Fórmula 241 de Ostrogradsky
3.9 El operador hamiltoniano y algunas aplicaciones 244

Ejercicios sobre el capítulo 3

CAPÍTULO 4 SERIES

4.1 Serie. Suma de una serie 253
4.2 Condición necesaria para la convergencia de una serie 256
4.3 Comparación de series con términos positivos 258
4.4 Prueba de D’Alembert 260
4.5 Prueba de Cauchy 264
4.6 La prueba integral de convergencia de una serie 266
4.7 Series alternas. Teorema de Leibniz 269
4.8 Series de más y menos. Convergencia absoluta y condicional 271
4.9 Serie funcional 274
4.10 Serie diezmada 275
4.11 La continuidad de la suma de una serie 277
4.12 Integración y diferenciación de la serie 280
4.13 Serie de potencia. Intervalo de convergencia 283
4.14 Diferenciación de la serie de potencias 288
4.15 Series en potencias de x-a 289
4.16 Serie de Taylor y serie 290 de Maclaurin
4.17 Expansión de funciones en serie 292
4.18 Fórmula 294 de Euler
4.19 La serie binomial 295
4.20 Expansión de la función ln (1 + x ) en una serie de potencias. Cálculo de logaritmos 297
4.21 Evaluación de series de integrales definidas 299
4.22 Integración de ecuaciones diferenciales por medio de la serie 301
4.23 Ecuación de Bessel 303
4.24 Series con términos complejos 308
4.25 Serie de potencias en una variable compleja 309
4.26 La solución de ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de aproximaciones sucesivas (método de iteración) 312
4.27 Prueba de la existencia de una solución de una ecuación diferencial. Estimación de errores en soluciones aproximadas 313
4.28 El teorema de unicidad de la solución de una ecuación diferencial 318

Ejercicios sobre el capítulo 4 319

CAPÍTULO 5 SERIES DE FOURIER

5.1 Definición. Planteamiento del problema 327
5.2 Expansiones de funciones en la serie 331 de Fourier
5.3 Una observación sobre la expansión de una función periódica en una serie de Fourier 336
5.4 Series de Fourier para funciones pares e impares 338
5.5 La serie de Fourier para una función con período 339
5.6 Sobre la expansión de una función no periódica en una serie de Fourier 341
5.7 Aproximación media de una función dada por un polinomio trigonométrico 343
5.8 La integral de Dirichlet 348
5.9 La convergencia de una serie de Fourier en un punto dado 351
5.10 Ciertas condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier 352
5.11 Análisis armónico práctico 355 5.12 La serie de Fourier en forma compleja 356
5.13 Integral de Fourier 358
5.14 La integral de Fourier en forma compleja 362
5.15 Expansión de la serie de Fourier con respecto a un sistema ortogonal de funciones 364
5.16 El concepto de un espacio de función lineal. Expansión de funciones en series de Fourier en comparación con descomposición de vectores 367

Ejercicios sobre el capítulo 5 371

CAPÍTULO 6 ECUACIONES DE LA FÍSICA MATEMÁTICA

6.1 Tipos básicos de ecuaciones de física matemática 374
6.2 Derivar la ecuación de la cuerda vibratoria. Formulación del problema del valor límite. Derivando ecuaciones de oscilaciones eléctricas en
cables 375
6.3 Solución de la ecuación de la cuerda vibrante por el método de separación de variables (el método de Fourier ) 378
6.4 La ecuación de la conducción de calor en una varilla. Formulación del problema del valor límite 382
6.5 Transferencia de calor en el espacio 384
6.6 Solución del primer problema de valor límite para la ecuación de conducción de calor por el método de diferencias finitas 387
6.7 Transferencia de calor en una varilla ilimitada 389
6.8 Problemas que se reducen a investigar soluciones de la ecuación de Laplace. Declaración de problemas de valores límite 394
6.9 La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo con valores constantes de la función deseada en las circunferencias interior y exterior 399
6.10 La solución del problema de Dirichlet para un círculo 401
6.11 Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias finitas 405

Ejercicios sobre el capítulo 6 407

CAPÍTULO 7 CÁLCULO OPERACIONAL Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

7.1 La función original y su transformación 411
7.2 Transformaciones de las funciones 𝜎_{0} (t). sin t, cos t 413
7.3 La transformación de una función con escala cambiada de la variable independiente. Transformadas de las funciones sin at, cos at 414
7.4 La propiedad de linealidad de una transformada 415
7.5 El teorema del desplazamiento 416
7.6 transformadas de las funciones e^{-𝛼t}, sinh 𝛼t, cosh 𝛼t, e^{-𝛼t} pecado 𝛼t, e^{-𝛼t} cos 𝛼t 416
7.7 Diferenciación de transformadas 417
7.8 Las transformadas de las derivadas 419
7.9 Tabla de transformadas 420
7.10 Una ecuación auxiliar para una ecuación diferencial dada 422
7.11 Teorema de descomposición 426
7.12 Ejemplos de soluciones de ecuaciones diferenciales y Sistemas de ecuaciones diferenciales por el método operativo 428
7.13 El teorema de convolución 429
7.14 Las ecuaciones diferenciales de las vibraciones mecánicas. Las ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos 432
7.15 Solución de la ecuación diferencial de oscilaciones 433
7.16 Investigación de oscilaciones libres 435
7.17 Investigación de oscilaciones mecánicas y eléctricas en el caso de una fuerza externa periódica 435
7.18 Resolución de la ecuación de oscilación en el caso de la resonancia 437
7.19 El teorema del retraso 439
7.20 La función delta y su transformada 440

Ejercicios sobre el capítulo 7 443

CAPÍTULO 8 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

8.1 evento Aleatorio. Frecuencia relativa de un evento aleatorio. La probabilidad de un evento. La asignatura de teoría de la probabilidad 445
8.2 La definición clásica de probabilidad y el cálculo de probabilidades 447
8.3 La adición de probabilidades. Eventos aleatorios complementarios 449
8.4 Multiplicación de probabilitas de e v e n t s independientes 452
8.5 eventos Dependientes. Probabilidad condicional. Probabilidad total 454
8.6 Probabilidad de causas. Fórmula 457 de Bayes
8.7 Una variable aleatoria discreta. La ley de distribución de una variable aleatoria discreta 460
8.8 Frecuencia relativa y probabilidad de frecuencia relativa en ensayos repetidos 462
8.9 La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta 466
8.10 Variación. Desviación cuadrática media (estándar). Momentos 471
8.11 Funciones de variables aleatorias 474
8.12 variable aleatoria Continua. Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en un intervalo especificado 475
8.13 La función de distribución. Ley de distribución uniforme 479
8.14 Características numéricas de una variable aleatoria continua 482
8.15 Distribución normal. La expectativa de una distribución normal 485
8.16 Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria distribuida normalmente 487
817 La probabilidad de que un valor de la variable aleatoria caiga en un intervalo dado. La función de Laplace. Función de distribución normal 488
8.18 Error probable 493
8.19 Expresar la distribución normal en términos del error probable. La función de Laplace reducida 494
8.20 La regla de tres sigma. Distribución de errores 496
8.21 Error aritmético medio 497
8.22 Módulo de precisión. Relaciones entre las características de la distribución de errores 498
8.23 Variables aleatorias bidimensionales 499
8.24 Distribución normal en el plano 502
8.25 La probabilidad de que una variable aleatoria bidimensional caiga en un rectángulo con lados paralelos a los ejes principales de dispersión
bajo la ley de distribución normal 504
8.26 La probabilidad de que una variable aleatoria bidimensional caiga en la elipse de dispersión 506
8.27 Problemas de estadística matemática. Datos estadísticos 507
8.28 series Estadísticas. Histograma 508
8.29 Determinación de un valor adecuado de una cantidad medida 511
8.30 Determinación de los parámetros de una distribución. Teorema de Lyapunov. Teorema de Laplace 512

Ejercicios sobre el capítulo 8 516

CAPÍTULO 9 MATRICES

9.1 transformaciones Lineales. Notación matricial 519
9.2 Definiciones generales que involucran matrices 522
9.3 Transformación inversa 524
9.4 Operaciones sobre matrices. Adición de matrices 526
9.5 Transformación de un vector en otro vector por medio de una matriz 529
9.6 Matriz inversa 531
9.7 Inversión de matriz 532
9.8 Notación matricial para Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 534
9.9 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método matricial 535
9.10 Asignaciones ortogonales. Matrices ortogonales 537
9.11 El vector propio de una transformación lineal 540
9.12 La matriz de una transformación lineal bajo la cual los vectores base
son vectores propios 543
9.13 Transformación de la matriz de una transformación lineal al cambiar
la base 544
9.14 Formas cuadráticas y su transformación 547
9.15 El rango de una matriz. La existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 549
9.16 Diferenciación e integración de matrices 550
9.17 Notación matricial para Sistemas de ecuaciones diferenciales y soluciones
de Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes 552
9.18 Notación matricial para una ecuación lineal de orden n 557
9.19 Resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables por el método de aproximaciones sucesivas usando matriz
notación 558

Ejercicios sobre el capítulo 9 563

Apéndice 565
Índice 567