TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos 9
Chapitre premier. INTRODUCTION À L’ANALYSE 11
§ 1. Notion de fonction 11
§ 2. Graphiquesdes fonctions élémentaires 17
§ 3. Limites 24
§ 4. Infiniment petits et infiniment grands 37
§ 5. Continuitédes fonctions 41
Chapitre II. DÉRIVATION DES FONCTIONS 47
§ 1. Calcul des dérivées 47
§ 2. Tableau des principales formules de dérivation et leurs applications 52
§ 3. Dérivées des fonctions qui ne sont pas données explicitement 62
§ 4. Applications géométriques et mécaniques de la dérivée 66
§ 5. Dérivées d’ordres supérieurs au premier 74
§ 6. Différentielles du premier ordre et d’ordres supé rieurs 78
§ 7. Théorèmes de la moyenne 83
§ 8. Formule de Taylor 85
§ 9. Règle de Lhopital-Bernoulli pour lever les indéterminations 87
Chapitre III. EXTRÉMUMS DES FONCTIONS ET APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA DÉRIVÉE 92
§ 1. Extrémums d’une fonction d’une variable 92
§ 2. Concavité. Points d’inflexion 101
§ 3. Asymptotes 103
§ 4. Construction des graphiques des fonctions d’après leurs points caractéristiques 106
§ 5. Différentielle d’un arc de courbe. Courbure 113
Chapitre IV. INTÉGRALE INDÉFINIE 119
§ 1. Intégration directe 119 §
§ 2. Méthode de substitution 126
§ 3. Intégration par parties 130
§ 4. Intégrales simples contenant un trinôme du second degré 132
§ 5. Intégration des fonctions rationnelles 135
§ 6. Intégration de certaines fonctions irrationnelles 140
§ 7. Intégration des fonctions trigonométriques 143
§ 8. Intégration des fonctions hyperboliques 149
§ 9. Application des substitutions trigonométriques et hyperboliques pour calculer les intégrales du type
∫R(x,√(ax^2+ bx+ c)dx, où R est une fonction rationnelle 150
§ 10. Intégration de différentes fonctions transcendantes 151
§ 11. Application des «formules de récurrence» 152
§ 12. Exemples mixtes d’intégration 152
Chapitre V. INTÉGRALE DÉFINIE 155
§ 1. Intégrale définie en tant que limite de sommes 155
§ 2. Calcul des intégrales définies à l’aide des intégrales indéfinies 158
§ 3. Intégrales impropres 160
§ 4. Changement de variable dans une intégrale définie 165
§ 5. Intégration par parties 168
§ 6. Théorème de la moyenne 169
§ 7. Aires des figures planes 172
§ 8. Longueur d’un arc de courbe 178
§ 9. Volumes des corps 181
§ 10. Aire d’une surface de révolution 186
§ 11. Moments. Centre de gravité. Théorèmes de Guldin 189
§ 12. Application des intégrales définies à la résolution de problèmes de physique 194
Chapitre VI. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 202
§ 1. Notions fondamentales 202
§ 2. Continuité 206
§ 3. Dérivées partielles 208
§ 4. Différentielle totale d’une fonction 211
§ 5. Dérivation des fonctions composées 214
§ 6. Dérivée dans une direction donnée et gradient d’une fonction 218
§ 7. Dérivées et différentielles d’ordres supérieurs 222
§ 8. Intégration des différentielles totales 228
§ 9. Dérivation des fonctions implicites 231
§ 10. Changement des variables 238
§ 11. Plan tangent et normale à une surface 244
§ 12. Formule do Taylor pour une fonction de plusieurs variables 248
§ 13. Extrémums des fonctions de plusieurs variables 250
§ 14. Problèmes sur la détermination des plus petites et plus grandes valeurs des fonctions 256
§ 15. Points singuliers des courbes planes 259
§ 16. Enveloppes 262
§ 17. Longueur dun arc de courbe gauche 263
§ 18. Fonction vectorielle d’une variable scalaire 264
§ 19. Trièdre naturel attaché à une courbe gauche 268
§ 20. Courbure et torsion d’une courbe gauche 273
Chapitre VII. INTÉGRALES MULTIPLES ET INTÉGRALESCURVILIGNES 277
§ 1. Intégrale double en coordonnées rectangulaires. 277
§ 2. Changement de variables dans une intégrale double 284
§ 3. Calcul des aires 288
§ 4. Calcul des volumes 290
§ 5. Calcul des aires des surfaces 292
§ 6. Applications mécaniques de l’intégrale double 292
§ 7. Intégrales triples 295
§ 8. Intégrales impropres dépendant d’un paramètre. Intégrales multiples impropres 303
§ 9. Intégrales curvilignes 307
§ 10. Intégrales de surface 319
§ 11. Formule d’Ostrogradski-Gauss 323
§ 12. Eléments de la théorie du champ 324
Chapitre VIII. SÉRIES 331
§ 1. Séries numériques 331
§ 2. Séries de fonctions 344
§ 3. Série de Taylor 352
§ 4. Séries de Fourier 360
Chapitre IX. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 366
§ 1. Solutions. Equations différentielles de famille de courbes. Conditions initiales 366
§ 2. Equations différentielles du premier ordre 369
§ 3. Equations différentielles du premier ordre à variables séparables. Trajectoires orthogonales 371
§ 4. Equations différentielles homogènes du premier ordre 375
§ 5. Equations linéaires du premier ordre. Equations de Bernoulli 377
§ 6. Equations aux différentielles totales. Facteur intégrant 380
§ 7. Equations différentielles du premier ordre non résolubles par rapport à la dérivée 383
§ 8. Equations de Lagrange et de Clairaut 385
§ 9. Exercices mixtes sur les équations différentielles du premier ordre 387
§ 10. Equations différentielles d’ordres supérieurs 393
§ 11. Equations différentielles linéaires 397
§ 12. Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 399
§ 13. Equations différentielles linéaires d’ordres supérieurs au second à coefficients constants 405
§ 14. Equations d’Euler 406
§ 15. Systèmes d’équations différentielles 408
§ 16. Intégration des équations différentielles a l’aide de séries entières 411
§ 17. Problèmes sur la méthode de Fourier 413
Chapitre X. CALCUL NUMÉRIQUE 417
§ 1. Opérations sur des nombres approchés 417
§ 2. Interpolations des fonctions 423
§ 3. Calcul des racines réelles des équations 427
§ 4. Intégration numérique 434
§ 5. Intégration numérique des équations différentielles 437
§ G. Calcul approché des coefficients deFourier 448
RÉPONSES 450
Chapitre I premier 450
Chapitre II 456
Chapitre III 465
Chapitre IV 474
Chapitre V 488
Chapitre VI 497
Chapitre VII 509
Chapitre VIII 521
Chapitre IX 531
Chapitre X 543
APPENDICES 546
I. Alphabet grec 546
II. Quel nues constantes remarquables 546
III. Grandeurs inverses, puissances, racines, logarithmes 547
IV*. Fonctions trigonométriques 549
V. Fonctions exponentielles, hyperboliques et trigonométriques 550
VI. Quelques courbes remarquables 551