À propos du livre

Les méthodes numériques pour résoudre divers problèmes de l’esprit ont décollé ces dernières années, à tel point que la bibliographie correspondante contient des centaines de livres. Cet intérêt n’est en aucun cas accidentel, il reflète le rôle prépondérant que jouent les problèmes extrêmes dans les applications. Ce livre est spécifiquement consacré à la recherche efficace du minimum d’une fonction dont les variables sont soumises à des contraintes.
Signalons tout de suite que les exigences formulées à l’égard des nouveaux algorithmes ne sont plus les mêmes qu’il y a dix ou quinze ans, lorsque chaque nouvelle procédure de calcul pour un problème de minimisation particulier était satisfaite avec intérêt.Il il ne suffit pas actuellement de construire un algorithme, il faut aussi montrer qu’il l’emporte sur les connus. Nous devons donc comparer l’efficacité de différents algorithmes, un problème qui ne peut malheureusement pas être résolu aussi facilement. En effet, nous ne comparons que sur la base d’un seul critère. Cependant, il y en a plus d’un (par exemple, la précision du résultat, le temps de calcul, l’occupation mémoire nécessaire), et il arrive qu’on nous demande d’évaluer un algorithme selon plusieurs critères assez contradictoires.
En choisissant les algorithmes à examiner dans cet ouvrage, les auteurs sont essentiellement partis du critère de précision du résultat et de celui de la vitesse de convergence du processus itératif. Même si nous restons dans ce cadre étroit, cependant, nous ne pouvons pas ordonner sans ambiguïté tous les algorithmes ou indiquer le meilleur et le pire d’entre eux. Le fait est que les estimations du taux de convergence sont obtenues pour des classes de problèmes, pas pour des problèmes isolés, et un algorithme qui est mauvais pour une grande classe peut s’avérer efficace pour une autre, plus restreinte. Le calculateur doit donc disposer de tout un arsenal d’algorithmes pour pouvoir faire face à chaque problème proposé.
Il est également nécessaire de prendre en compte la manière dont une grande vitesse de convergence est atteinte. En pratique, même le calcul des dérivées premières d’une fonction est souvent difficile et celui des dérivées secondes inextricable. Les auteurs ont donc insisté sur des algorithmes qui nécessitent le calcul des [seules] dérivées premières ou des valeurs de la fonction.
Les auteurs se placent en dimension finie. Parce que, d’une part, en calcul automatique, la solution d’un problème doit être abordée par la solution d’un autre en dimension finie, et, d’autre part, la plupart des algorithmes se généralisent assez facilement à la minimisation des fonctionnelles sans subir de modifications essentielles. Les auteurs ont donc résolu de se limiter au cas de dimension finie. Le livre est devenu encore plus accessible au grand public puisque la plupart des résultats ne nécessitent que la connaissance des fondements de l’analyse mathématique et de l’algèbre linéaire pour être compris.
Afin de ne pas alourdir la présentation, les références dans le texte lui-même sont très rares (elles sont généralement rassemblées dans les brefs commentaires à la fin de chaque chapitre). La littérature sur les questions traitées étant trop abondante, la bibliographie n’est principalement renforcée que par des articles et des monographies que les auteurs ont utilisés directement.
Le présent livre passe complètement sous silence les méthodes de résolution de la vaste et importante classe de problèmes d’excès mal posés, méthodes développées par A. Tikhonov et son école. Les auteurs touchent à peine à la résolution de ces problèmes de contrôle optimal. Ces problèmes et les techniques de résolution correspondantes sont étudiés sous différents points de vue dans la monographie de N. Moïse, Méthodes numériques dans la théorie des systèmes optimaux.

 Traduit du russe par Irina Pêtrova
Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.

L’édition française a été publiée en 1977 par les éditions Mir.

Vous pouvez obtenir le livre ici.

(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)

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