Dans cet article, nous verrons le livre Equations Différentielles Ordinaires par Vladimir Arnold.

À propos du livre

L’auteur de cet ouvrage s’est limité à un strict minimum dans son exposé. Ce cours est articulé sur deux questions fondamentales : le théorème des redressement d’un champ de vecteurs (qui est l’équivalent des théorèmes d’existence, d’unicité et de différentiabilité des solutions) et la théorie de groupes à un paramètre de transformations linéaires (i.e. la théorie des systèmes linéaires autonomes).
Les applications des équations différentielles ordinaires à la mécanique font l’objet d’un examen plus détaillé que de coutume. équation du pendule est abordée dès les p
t sur l’étude de la balançoire (« résonance paramétrique »).
exposé de nombreux problèmes diffère des méthodes traditionnelles. auteur s’est en effet partout attaché à mettre en exergue l’aspect géométrique, qualitatif des phénomènes abordés. Aussi, cet ouvrage, est-il émaillé de nombreux croquis et ne contient-il aucune formule tant soit peut fastidieuse. Par ailleurs, il éclaircit bien des notions fondamentales laissées à l’ombre par les méthodes classiques (espace des phases et flots ; variétés différentiables et fibrés vectoriels ; champs de vecteurs et groupes à un paramètre de difféomorphismes). Ce cours aurait été grandement simplifié si certaines notions avaient été connues. Malheureusement, à ce jour, les problèmes en question ne sont étudiés ni en analyse ni en géométrie. Force a donc été à l’auteur de les exposer suffisamment en détail sans supposer au lecteur des connaissances préliminaires débordant le cadre des traditionnels cours élémentaires d’analyse et d’algèbre linéaire.
Le présent ouvrage est composé pour l’essentiel des cours donnés par l’auteur aux élèves de deuxième année de l’Université de Moscou en 1968-1969 et 1969-1970.

L’auteur tient à exprimer sa profonde reconnaissance à R. Bogdanov pour ses précieux services dans la préparation des cours polycopiés ; à tous ses élèves et ses collègues pour leurs suggestions ; à D. Anossov et S. Krein pour leur attentive analyse des manuscrits.

Traduit du russe par Djilali Embarek.

L’édition française a été publiée en 1988 par les éditions Mir.

Crédits à l’uploader d’origine.

Vous pouvez obtenir le livre ici.

(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)

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Contenu

Avant-propos à la quatrième édition française su ussssssssse
Extrait de l’avant-propos à la première édition

Chapitre premier. NOTION FONDAMENTALES 11

§ 1. Espaces des phases et flots 11
§ 2. Champ de vecteurs sur la droite sus 34
§ 3. Equations linéaires 46
§ 4. Flots 55
§ 5. Action des difféomorphismes sur les champs de vecteurs et les champs de directions 64
§ 6. Symétrie 73

Chapitre 2. THÉORÈMES FONDAMENTAUX 85

§ 7. Théorèmes de redressement 85
§ 8. Applications aux équations d’ordre supérieur au premier 99
§ 9. Orbites d’un système autonome 111
§ 10. Dérivée suivant un champ de vecteurs et intégrales premières 115
§ 11. Equations linéaires et quasi linéaires aux dérivées partielles du premier ordre 123
§ 12. Système conservatif à un degré de liberté 132

Chapitre 3. SYSTÈMES LINÉAIRES 149

§ 13. Problèmes linéaires 149
§ 14. La fonction exponentielle 152
§ 15. Propriétés de l’exponentielle 159
§ 16. Déterminant de l’exponentielle 166
§ 17. Calcul de la matrice de l’exponentielle : cas de valeurs propres réelles et distinctes 171
§ 18. Complexification et réélification 174
§ 19. Equation linéaire dans un espace des phases complexe 178
§ 20. Complexification de l’équation linéaire réelle 183
§ 21. Classification des points singuliers des systèmes linéaires 192
§ 22. Classification topologique des points singuliers 197
§ 23. Stabilité des positions d’équilibre 208
§ 24. Cas de valeurs propres imaginaires pures 213
§ 25. Cas de valeurs propres multiples 219
§ 26. Sur les quasi-polynômes sens 228
§ 27. Equations linéaires non autonomes 240
§ 28. Equations linéaires à coefficients périodiques 255
§ 29. Variation des constantes 264

Chapitre 4. DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES FONDAMENTAUX 267

§ 30. Applications contractantes 267
§ 31. Démonstration des théorèmes d’existence et de dépendance continue par rapport aux conditions initiales 269
§ 32. Théorème de différentiabilité 279

Chapitre 5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SUR LES VARIÉTÉS 289

§ 33. Variétés différentiables 289
§ 34. Fibré tangent. Champs de vecteurs sur une variété 299
§ 35. Flot défini par un champ de vecteurs 305
§ 36 Indices des points singuliers d’un champ de vecteurs 309

Programme d’examen 324
Exercices d’examen 325
Notations fréquemment usitées 330
Index, 331