La teoría de los números examina principalmente las propiedades aritméticas de los números de la serie natural, es decir, de los números enteros positivos, y pertenece a una de las ramas más antiguas de las Matemáticas. Uno de los problemas centrales de la llamada teoría analítica de los números es el problema de la distribución de números primos en la serie natural. Se llama número primo cualquier número entero positivo mayor que uno, que se divide sin resto solamente por sí mismo y por la unidad. El problema de la distribución de números primos en serie natural consiste en determinar si es justo o no el comportamiento del conjunto de números primos menores que cierto número 𝑁, cuando 𝑁 tiene valores grandes. El primer resultado en esta dirección lo hallamos ya en los trabajos de Euclides (siglo IV a. d. n. e.), concretamente la demostración de que la serie de números primos es infinita; el segundo resultado, después de Euclides, fue obtenido por el gran matemático ruso P. L Chebishev en la segunda mitad del siglo XIX. Otro de los problemas fundamentales de la teoría de los números es la expresión de números enteros como suma de números enteros de un determinado tipo, por ejemplo, la expresión de números impares como suma de tres números primos. Este último problema, llamado de Goldbach, fue resuelto por uno de los más ilustres representantes de la teoría de los números, el matemático soviético I. M. Vinográdov. El libro que ofrecemos al lector está también dedicado a una de las partes más interesantes de la teoría de los números, concretamente a la resolución de ecuaciones en números enteros.

Uno de los problemas más difíciles de la teoría de los números es la resolución, en números enteros, de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros y con más de una incógnita. Al estudio de estos problemas se dedicaron intensamente los más eminentes matemáticos de la antigüedad, por ejemplo, el matemático griego Pitágoras (siglo VI a.d.n.e.), Diofanto de Alejandría (siglo II–III d.n.e.) y los mejores matemáticos de épocas más cercanas a la nuestra, entre ellos P. Fermat (siglo XVII), L. Euler (siglo XVIII), I. L. Lagrange (siglo XVIII) y otros. No obstante al esfuerzo de muchas

generaciones de eminentes matemáticos, en esta rama de las Matemáticas no existen métodos comunes semejantes al método de sumas trigonométricas — propuesto por I. M. Vinogradov — que permite resolver los más variados problemas de la teoría analítica de los números.

 El problema relacionado con la solución de ecuaciones en números enteros está completamente resuelto solamente para ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.

Para ecuaciones de cualquier grado con una incógnita, este problema no representa interés esencial alguno, ya que puede ser resuelto mediante una cantidad finita de pruebas. Para ecuaciones de grado superior al segundo con dos o más incógnitas, es sumamente difícil no solamente el problema de hallar todas las soluciones en números

enteros, sino también problemas más simples como es la determinación de la existencia de un conjunto finito o infinito de dichas soluciones.

La solución de ecuaciones en números enteros tiene no solamente interés teórico.

Pues ecuaciones de este tipo a veces se dan en la física.

El interés teórico que presentan las ecuaciones de números enteros es lo suficiente alto puesto que estas ecuaciones están estrechamente ligadas a muchos problemas de la teoría de los números. Además, las partes elementales de la teoría de estas ecuaciones, expuestas en este libro, pueden ser utilizadas con éxito para ampliar los conocimientos en matemáticas de los alumnos de escuelas medias y estudiantes de institutos pedagógicos.

El libro contiene la descripción de algunos resultados fundamentales, obtenidos en la teoría de la resolución de ecuaciones en números enteros. Los teoremas formulados en él, van acompañados por sus respectivas demostraciones en aquellos casos, cuando estas demostraciones son lo suficiente simples.