Dans cet article, nous verrons le livre Chapitres Supplémentaires De La Théorie Des Équations Différentielles Ordinaires par Vladimir Arnold.
À propos du livre
L’auteur s’est attaché à construire son ouvrage autour des prin- cipes et méthodes fondamentaux utilisés dans l’étude des équations différentielles. Il a pris soin de ne pas alourdir de détails techniques les notions fondamentales qui par essence sont simples et suggestives. Les problèmes les plus importants et les plus simples sont traités avec minutie, tandis que les problèmes plus complexes sont sommairement exposés.
L’ouvrage commence par l’étude de certaines équations différentielles spéciales intégrables par.quadrature. L’accent est mis non pas sur l’aspect formel de la théorie élémentaire d’intégration, mais sur ses liens avec les idées, méthodes et notions générales de mathématiques (résolution des singularités, groupes de Lie. diagrammes de Newton) d’une part,. et les applications scientifiques, de l’autre.
La théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre est traitée à l’aide de la structure de contact naturelle dans la variété des 1-jets des fonctions. On expose au passage les éléments indispensables de la géométrie des structures de contact, qui rendent cette théorie indépendante d’autres sources.
Les méthodes dites qualitatives occupent une place importante dans cet ouvrage. Le développement actuel de la théorie qualitative des équations différentielles, élaborée par H. Poincaré, a conduit à l’idée que de même que l’intégration implicite des équations différentielles est généralement impossible, de même est impossible l’étude qualitative d’équations différentielles tant soit peu générales à espace des phases multidimensionnel. Cet ouvrage traite de l’analyse des équations différentielles en termes de stabilité structurelle, c’est-à-dire de stabilité des portraits de phases par rapport à de petites déformations des équations différentielles. Il passe en revue
les principaux résultats obtenus dans ce domaine après les premiers travaux de A. Andronov et L. Pontriaguine: Fondements de la théorie des C-systèmes structurellement stables dont toutes les trajectoires sont exponentiellement instables, théorème de Smale de non-densité de l’ensemble des systèmes structurellement stables. Il traite également de l’impact de ces découvertes sur les applications (nous avons en vue la description de régimes chaotiques stables de mouvement du type turbulent).
Les méthodes asymptotiques comptent parmi les méthodes les plus puissantes et les plus souvent utilisées d’étude des équations différentielles. Cet ouvrage expose les idées principales de la méthode de moyennisation qui remonte aux travaux des fondateurs de la mécanique céleste et qui trouve de vastes applications dans tous les domaines nécessitant une séparation d’une évolution lente d’oscillations rapides (N. Bogolioubov, Y. Mitropolski et autres).
L’application des idées et méthodes de la théorie générale des singularités des applications différentiables de Whitney a fait faire ces dernières années un important progrès à la théorie des. bifurcations.
Ce livre s’achève par un chapitre sur la théorie des bifurcations. Dans ce chapitre on utilise les méthodes développées dans les chapitres précédents et l’on décrit les résultats obtenus dans ce domaine depuis les travaux fondamentaux de H. Poincaré et A. Andronov.
Dans son exposé l’auteur s’est attaché à éviter le style axiomatique et déductif dont le trait caractéristique est la présence de définitions non motivées masquant les idées et méthodes fondamentales; telles des paraboles, elles ne sont ensuite expliquées qu’aux disciples initiés.
L’axiomatisation et l’algébrisation de la mathématique qui~ prétend-on, se poursuivent depuis déjà plus de 50 ans ont conduit à rendre illisibles un si grand nombre de textes mathématiques: que la menace (qui a toujours pesé) de voir les mathématiques perdre contact avec la physique et les sciences naturelles est devenue réelle. L’auteur a agencé son exposé de façon à mettre ce livre à la portée non seulement des mathématiciens mais aussi de tous les usagers de la théorie des équations différentielles.
On suppose au lecteur les rudiments de mathématiques générales: espaces vectoriels, calcul différentiel et intégral, éléments de théorie des équations différentielles ordinaires. Il pourra consulter avec profit le manuel de V. Arnold, Equations différentielles ordinaires, Editions Mir, 1974 *).
La conception de l’exposé permet au lecteur de sauter les passages .qui lui ont semblé difficiles sans grand préjudice pour la suite : l’auteur a tenté dans la mesure du possible ··d’éviter les renvois
d’un chapitre à l’autre et même d’un paragraphe à l’autre.
La base de ce livre est une série de cours facultatifs faits par l’auteur à la faculté de mécanique et de mathématiques de l’Université Lomonossov en 1970-1976 pour les étudiants des 2-ième et 3-ième années.
Traduit du russe par Djilali Embarek
L’édition française a été publiée en 1980 par les éditions Mir.
Crédits à l’uploader d’origine.
Vous pouvez obtenir le livre ici.
(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)
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Contenu
Avant-propos 7
Notations utilisées 10
Chapitre premier. ÉQUATIONS SPÉCIALES 13
§ 1. Equations différentielles invariantes par des groupes de symétries 13
§ 2. Eclatement des singularités des équations différentielles 20
§ 3. Equations non résolues par rapport aux dérivées 26
§ 4. Forme normale d‘une équation résolue par rapport à la dérivée au voisinage d’un point singulier régulier 36
§ 5. Equation stationnaire de Schrödinger 40
§ 6. Géométrie de l’équation différentielle du second ordre et géométrie d’un couple de champs de directions dans un espace à trois dimensions 52
Chapitre 2. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 64
§ 7. Equations linéaires et quasi linéaires à dérivées partielles du premier ordre 64
§ 8. Equation non linéaire aux dérivées partielles de premier ordre 73
§ 9. Théorème de Frobénius 88
Chapitre 3. STABILITÉ STRUCTURELLE 91
§ 10. Notion de stabilité structurelle 91
§ 11. Equations différentielles sur le tore 98
§ 12. Réduction analytique des difféomorphismes analytiques du cercle à une rotation 114
§ 13. Introduction à la théorie hyperbolique 120
§ 14. C-systèmes 126
§ 15. Systèmes structurellement stables non partout denses
Chapitre 4. THÉORIE DES PERTURBATIONS 141
§ 16. Méthode de moyennisation 141
§ 17. Moyennisation dans les systèmes à une fréquence 146
§ 18. Moyennisation dans les systèmes à plusieurs fréquences 150
§ 19. Moyennisation dans les systèmes hamiltoniens 160
§ 20. Invariants adiabatiques 163
§ 21. Moyennisation dans le feuilletage de Seifert 168
Chapitre 5. FORMES NORMALES 174
§ 22. Réduction formelle à une forme normale linéaire 174
§ 23. Cas résonnant 177
§ 24. Domaine de Poincaré et de Siegel 180
§ 25. Forme normale d’une application au voisinage d’un point 185
§ 26. Forme normale d’une équation à coefficients périodiques 187
§ 27. Forme normale au voisinage d’une courbe elliptique 194
§ 28. Démonstration du théorème de Siegel 204
CHAPITRE 6. THÉORIE LOCALE DES BIFURCATIONS 211
§ 29. Familles et déformations 211
§ 30. Matrices dépendant de paramètres et singularités du diagramme du décrément
§ 31. Bifurcation des points singuliers d’un champ de vecteurs 245
§ 32. Déformations verselles des portraits de phases 249
§ 33. Perte de stabilité de la position d’équilibre 254
§ 34. Perte de stabilité des auto-oscillations 269
§ 35. Déformations verselles de champs de vecteurs équivariants sur le plan 280
§ 36. Modifications de la topologie en cas de résonances 299
§ 37. Classification des points singuliers 313
Exemples de problèmes d’examen 317
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