Dans cet article, nous verrons le livre Singularités Des Applications Différentiables Tome 2 (Monodromie et comportement asymptotique des intégrales) par V. Arnold; A. Varchenko; S. Goussein-Zade.

À propos du livre

Ce livre fait suite à notre ouvrage “Singularités des applications différentiables. Classification des points critiques, des caustiques et des fronts d’onde”, publié en 1986 aux Editions Mir en langue française. Si la première partie était consacrée à la “zoologie” des singularités des applications différentiables, c’est-à-dire à la description des types de singularités et des conditions de leur apparition, le présent livre s’occupe de leur “anatomie” et de leur “physiologie”. Cela signifie que nous y étudions les particularités de structure et de fonctionnement des singularités. Un autre trait particulier de cette deuxième partie est l’accent mis sur les questions pour lesquelles le cas complexe revêt une très grande importance, alors que dans la première partie on se désintéressait souvent de savoir sur quel corps commutatif (réel ou complexe) on opérait. En passant au cas complexe, on arrive à éclaircir toute une série de questions, telles que la décomposition des singularités, leur lien avec les algèbres de Lie, le comportement asymptotique d’intégrales dépendant de paramètres.

Le livre se compose de trois chapitres. Le premier est réservé à la structure topologique des points critiques isolés de fonctions holomorphes, notamment à leurs caractéristiques topologiques fondamentales : cycles évanescents, bases distinguées, matrices des intersections, groupe de monodromie, opérateur de variation, et au rapport existant entre ces caractéristiques et les méthodes de leur calcul. Le deuxième chapitre est consacré à l’étude du comportement asymptotique des intégrales dites de la méthode de la phase stationnaire, que l’on rencontre souvent dans les applications. Nous décrivons les méthodes de calcul des développements asymptotiques, nous discutons le lien entre le comportement asymptotique et diverses caractéristiques du point critique de la phase de l’intégrale (désingularisation, polyèdres de Newton, etc.) et nous donnons des tableaux des caractéristiques des séries asymptotiques pour les points critiques de la phase qui ont été classifiés dans la première partie (il s’agit, en particulier, des points simples, unimodaux et bimodaux).

Dans le troisième chapitre, nous nous occupons du calcul intégral sur les variétés de niveau du point critique d’une fonction holomorphe. Nous y étudions les intégrales des formes holomorphes définies au voisinage du point critique, étendues aux cycles situés sur les hypersurfaces de niveau de la fonction. L’intégrale d’une forme holomorphe suivant un cycle varie de façon holomorphe quand le cycle passe par déformation continue d’une hypersurface de niveau à l’autre. On voit alors apparaître des fonctions holomorphes multiformes définies sur la droite complexe au voisinage de la valeur critique de la fonction. Il se trouve que les fonctions multiformes en question (ou, plus exactement, leurs intégrales) présentent un comportement asymptotique qui est défini par différentes caractéristiques propres au point critique initial de la fonction holomorphe lorsque le niveau considéré tend vers le niveau critique.

Sous la direction de V. ARNOLD
Traduit du russe par Vladimir Kotliar
L’édition française a été publiée en 1988 par les éditions Mir.

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
Vous pouvez obtenir le livre ici.

(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)
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