Dans cet article, nous verrons le livre Leçons De Géométrie V Semestre E Groupes Et Algèbres De Lie par M. Postnikov.

À propos du livre

La théorie des groupes de Lie est basée sur le théorème de Cariait d’équivalence des catégories de groupes de Lie simplement connexes et des catégories d’algèbres de Lie. Cet ouvrage vise à la démonstration de ce théorème et des principaux faits qui y sont rattachés. Nous glisserons donc sur des résultats plus profonds découlant de ce théorème. De même la théorie des algèbres de Lie n’est exposée que dans la mesure nécessaire à la démonstration du théorème de Cartan. Ce cours spécial semestriel de 21 leçons prolonge une série *) qui est la transcription presque intégrale des leçons faites par l’auteur aux élèves du second (et du troisième) cycle de la faculté de mécanique et de mathématiques de l’Université de Moscou. Mais il diffère des livres I et II qui, eux, reproduisaient un cours obligatoire. La destination de ce cours aux élèves de quatrième et de cinquième année et aux boursiers de thèse a permis en deux heures académiques (90 min) d’aborder plus de sujets que dans les leçons qui visaient les élèves de première année. En supprimant la récréation et en « mordant » sur les horaires du cours suivant. Tauleur a réussi à faire de deux heures académiques deux heures « astronomiques » (120 min) et ainsi à doubler pratiquement le volume de chaque leçon. Certes, avec un programme moins chargé — disons un cours étalé sur une année et non sur un semestre — chacune de nos leçons aurait recouvert pratiquement une leçon et demie ou deux ordinaires. Aussi serait-il plus logique de voir ici un cours spécial d’une année (mais qui a tout de même été fait en un semestre dans les conditions signalées ci-dessus).

La pénurie de temps nous a contraint à nous limiter souvent aux seules idées des démonstrations en abandonnant les détails au lecteur. Les assertions auxiliaires des autres disciplines mathématiques ont été simplement formulées avec les références nécessaires, et les exemples illustrant la théorie générale, simplement décrits, leur étude détaillée ayant été laissée au soin du lecteur. *) Voir M. Postnikov , Leçons de géométrie. Iersemestre. Géométrie analytique.Traduction française Editions Mir, 1981, et Leçons de géométrie. IIe semestre. Algèbre linéaire et géométrie différentielle. Traduction française Editions Mir, 1981 (sont désignés dans les références par I et II suivis du numéro de la leçon). Les semestres III et IV sont in statu nascendi.

En couchant ces leçons par écrit point n’est besoin de respecter ces particularités, bien plus, toutes les démonstrations doivent être conduites soigneusement, les exemples étudiés complètement et les lemraes « auxiliaires » prouvés. Ceci aura pour effet de doubler ou de tripler le volume des leçons.

Tout professeur, même s’il suppose à ses élèves un certain niveau de connaissance, est contraint de rappeler, ne fût-ce que brièvement, les notions préliminaires fondamentales. Par écrit, ces rappels occupent une place assez importante. Ceci explique l’ampleur de certaines leçons. En fait, chaque leçon de cet ouvrage? est la transcription d’une leçon orale (aux artifices près de l’auteur!).

Les leçons ont été partagées en cinq cycles. Dans le premier (leçons 1, 2 et 3) sont introduites et illustrées par des exemples les notions fondamentales de groupe de Lie, d’algèbre de Lie d’un groupe de Lie. Le deuxième cycle (leçons 4, 5, 6 et 7) est consacré à la « théorie locale » des groupes de Lie. Les leçons 4 et 6 établissent l’équivalence <les catégories d’algèbres de Lie et de groupuscules analytiques (= groupes locaux) de Lie. L’outil mathématique nécessaire est développé à la leçon 5. Dans la leçon 7 on montre que la condition d’analyticité ne restreint pas la généralité. On y étudie aussi les sous-groupuscules et les groupuscules quotients.

Les leçons 8, 9 et 10 sont consacrées à la globalisation de la théorie. La leçon 8 traite de la théorie des revêtements (au sens de Chevalley, c’est-à-dire « sans chemins »). Dans la leçon 9, on construit un groupe de revêtement universel; dans la leçon 10, on formule •et on discute le théorème de Cartan. Ce théorème n’est pas prouvé mais ramené simplement au théorème d’Ado d’existence de la représentation linéaire exacte de toute algèbre de Lie. Ces trois cycles peuvent constituer la matière d’un petit cours d’initiation à la théorie des groupes de Lie.

Dans les leçons 11 et 12 sont étudiés les sous-groupes et les groupes •quotients des groupes de Lie. La leçon 13 est consacrée aux algèbres de Clifford et aux groupes de spineurs. Dans les leçons 14, 15 et 16 on se penche en détail sur les groupes de Lie G2 et Fk et sur l’appareil mathématique ad hoc.

Les dernières leçons 17 à 21 sont purement algébriques et sont pratiquement indépendantes des autres (hormis la leçon 20 qui-« fait bande à part»). Formellement elles sont consacrées à la démonstration du théorème d’Ado, mais en réalité elles contiennent une partie assez importante de la théorie des algèbres de Lie (critère de Cartan de résolubilité et de semi-simplicité, lemmes de Whitehead, théorèmes de Weyl et de Lévi) qui présente un intérêt en soi. En conclusion je voudrais exprimer ma gratitude à V. Popov dont la contribution au perfectionnement du manuscrit dépasse de loin les obligations habituelles du rédacteur.

Traduit du russe par Djilali Embarek

L’édition française a été publiée en 1982 par les éditions Mir.

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
Vous pouvez obtenir le livre ici.

(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)
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