En este post, veremos el libro Puntos Fijos (Lecciones Populares De Matemáticas)- por Yu. Shashkin. (Fixed Points)

Sobre el libro

La teoría de los puntos fijos encuentra sus raíces en el trabajo de Poincaré, Brouwer y Sperner y hace un uso extensivo de nociones topológicas como la continuidad, la compacidad, la homotopía y el grado de mapeo. Los teoremas de punto fijo tienen numerosas aplicaciones en matemáticas; la mayoría de los teoremas que aseguran la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales, integrales, de operador u otras ecuaciones se pueden reducir a teoremas de punto fijo. Además, estos teoremas se utilizan en áreas tales como la economía matemática y la teoría de juegos. Este libro presenta una exposición legible de la teoría de puntos fijos. El autor se centra en el problema de si un intervalo cerrado, cuadrado, disco o esfera tiene la propiedad de punto fijo.Otro objetivo del libro es mostrar cómo la teoría de puntos fijos utiliza ideas combinatorias relacionadas con la descomposición (triangulación) de figuras en partes distintas llamadas caras (símplexes), que se unen entre sí de manera regular. Se explican todos los conceptos básicos necesarios, como la continuidad, la compacidad, el grado de un mapa, etc., lo que hace que el libro sea accesible incluso para los estudiantes de secundaria. Además, el libro contiene ejercicios y descripciones de aplicaciones. Los lectores apreciarán este libro por su presentación lúcida de este tema matemático fundamental.

El libro fue traducido del ruso por ingeniero Antonio Molina García.

El libro fue publicado por la editorial Mir en 1991.

Créditos al cargador original.

Puedes conseguir el libro aquí.

(Disculpas por cualquier error, estoy usando la traducción automática)

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Contenido

Prólogo 6

§ 1. Transformación continua del segmento y el cuadrado 8
§ 2. Primer lema combinatorio 11
§ 3. Segundo lema combinatorio o paseo por las habitaciones de la casa 12
§ 4. Lema de Sperner 14
§ 5. Transformaciones continuas. Homeomorfismos. Propiedad del punto fijo 20
§ 6. Compacidad 25
§ 7. Demostración del teorema de Brouwer para el segmento. Teorema de los valores intermedios. Aplicaciones 29
§ 8. Demostración del teorema de Brouwer para el cuadrado 38
§ 9. Método de iteraciones 44
§ 10. Retracción 49
§ 11. Transformaciones continuas de la circunferencia. Homotopia. Grado de una transformación 53
§ 12. Segunda definición del grado de una transformación 59
§ 13. Transformación continua de la esfera 61

Soluciones y respuestas 69
Bibliografía 81