Dans cet article, nous verrons le livre Leçons De Géométrie IIIe Semestre Variétés Différentiables par M. Postnikov.
À propos du livre
Les cinq premières leçons qui ne concernent qu’indirectement la théorie des variétés différentiables sont consacrées à la géométrie différentielle élémentaire. Après la théorie des courbes (les formules de Frenet) on construit la première et la deuxième forme quadratique d’une surface, on établit les formules de dérivation de Weingarten et on prouve le théorème de Gauss d’invariance de la courbure totale. Tout ce qui ne conduit pas directement au théorème de Gauss a été oblitéré (les théorèmes de Meunier et d’Euler, les lignes géodésiques, les lignes asymptotiques, les lignes de courbure, etc.). En deuxième année ces questions sont parfois ajournées jusqu’au milieu du semestre (pour pouvoir développer les principales notions de théorie générale des variétés différentiables indispensables au cours d’équations différentielles). Ceci a certes permis d’éviter certaines répétitions (par exemple on n’a plus eu besoin de définir deux fois la différentielle d’une application différentiable: une fois pour les surfaces, une autre dans le cas général), mais s’est peu justifié méthodologiquement (et a trop subordonné la géométrie différentielle élémentaire — qui en principe est locale — à la théorie des variétés).
A proprement parler la théorie des variétés commence par la leçon 6. Les leçons 6 à 15 sont consacrées aux principales notions géométriques et aux théorèmes de la théorie des variétés. Si l’on veut limiter cet ouvrage à 11 leçons, on peut garder 4 des 5 premières leçons et sacrifier les leçons 8, 9 et 10 (qui développent essentiellement la théorie topologique de la dimension et le théorème de Tikhonov) ; dans un cours de 16 leçons on peut se séparer de la leçon 10. Les autres leçons de ce groupe (qui sont consacrées essentiellement aux théorèmes de Sard et de Whitney) doivent à mon avis être conservées dans toute variante.
Dans la variante à 11 leçons, le cours s’arrêterait là. Du reste il est possible dans ce cas, en abrégeant et comprimant l’exposé, d’économiser une heure et demie pour développer une partie des leçons 16 et 17. La théorie des formes différentielles (leçons 18, 19 et 20) serait reportée au prochain semestre (ou laissée à la discrétion du professeur d’analyse).
Dans la version à 16 leçons on peut éviter ce report et clore le cours par la leçon 20 dans laquelle on démontre sur l’exemple de la sphère les diverses méthodes de calcul des groupes de cohomologie de de Rham. [A noter que cela reviendrait à exclure les leçons 24 à 29 qui seraient à la charge du professeur d’analyse.]
Dans les leçons 21, 22 et 23 on tente pour la première fois d’exposer d’une façon assez complète la théorie de l’homologie et de la cohomologie — jusqu’aux suites spectrales! On a pu le faire en rompant avec le point de vue traditionnel et en renonçant à l’exposé de la théorie simpliciale de l’homologie qui passe pour être géométrique ment suggestive. [Il m’est agréable de signaler que la même approche — mais à un niveau plus poussé — a été adoptée dans l’ouvrage de Bott R. & Tu L. « Differential foras in algebric topology » que nous recommandons vivement à ceux qui désireraient connaître les idées et les constructions fondamentales de la théorie classique de la cohomologie dans un esprit moderne.] Si l’on manque de temps, on peut sauter la deuxième moitié de la leçon 22 et la leçon 23. Enfin les leçons 24 à 29 que l’on peut partiellement intervertir avec les leçons 21, 22 et 23 sont consacrées à l’intégration. L’exposé a été sciemment abrégé (on ne dit rien par exemple des fonctions d’ensembles additives), car ces leçons ne reflètent qu’une partie de la situation générale, l’autre partie se rapportant à l’analyse. La leçon 28 peut être entièrement confiée au professeur d’analyse. On peut aussi se limiter à la seule leçon 29 qui est indépendante des quatre leçons précédentes.
L’édition française a été publiée en 1990 par les éditions Mir.
Traduit du russe par Djilali Embarek
Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original.
Vous pouvez obtenir le livre ici.
(J’ai utilisé la traduction automatique, toutes mes excuses pour les erreurs.)
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